[论文解读] Cauchy-Born Rule from Microscopic Models with Non-convex Potentials

Stefan Adams, Simon Buchholz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 10

一句话总结

该论文通过一种新颖的多尺度重整化群方法，为具有非凸相互作用的晶格梯度模型建立了柯西-伯恩法则。它在低温和小形变条件下证明了自由能关于仿射形变的严格凸性，并确定了吉布斯测度的标度极限为具有特定协方差的高斯梯度场，将严格的重整化技术扩展至无旋转对称性的向量模型。

ABSTRACT

We study gradient field models on an integer lattice with non-convex interactions. These models emerge in distinct branches of physics and mathematics under various names. In particular, as zero-mass lattice (Euclidean) quantum field theory, models of random interfaces, and as mass-string models of nonlinear elasticity.Our attention is mostly devoted to the latter with random vector valued fields as displacements for atoms of crystal structures,where our aim is to prove the strict convexity of the free energy as a function of affine deformations for low enough temperatures and small enough deformations. This claim can be interpreted as a form of verification of the Cauchy-Born rule at small non-vanishing temperatures for a class of these models. We also show that the scaling limit of the Laplace transform of the corresponding Gibbs measure (under a proper rescaling) corresponds to the Gaussian gradient field with a particular covariance. The proofs are based on a multi-scale (renormalisation group analysis) techniques needed in view of strong correlations of studied gradient fields. To cover sufficiently wide class of models, we extend these techniques from the standard case with rotationally symmetric nearest neighbour interaction to a more general situation with finite range interactions without any symmetry. Our presentation is entirely self-contained covering the details of the needed renormalisation group methods.

研究动机与目标

• 在非零低温下，严格证明具有非凸微观相互作用的系统在非线性弹性理论中柯西-伯恩法则的合理性。
• 将多尺度重整化群技术扩展至一般有限范围、非对称的向量相互作用，超越旋转对称性、最近邻相互作用的模型。
• 在热力学极限下，建立自由能作为仿射形变函数的严格凸性。
• 确定吉布斯测度拉普拉斯变换的标度极限为具有明确协方差结构的高斯梯度场。
• 开发一种新的大场调节器和矩阵估计方法，以控制具有非凸势能的梯度场中的强关联性。

提出的方法

• 为具有非凸势能的梯度场模型量身定制了一个自包含的多尺度重整化群框架。
• 引入一种基于权重函数的新大场调节器，以控制高场贡献并确保收敛性。
• 采用哈密顿量的有限范围分解，通过多尺度迭代粗粒化系统。
• 将稳定流形定理应用于重整化映射，实现对初始条件的精细调节，以达到固定点。
• 使用聚合物展开和相关哈密顿量投影，分离并控制自由能的主要贡献。
• 为重整化映射中的算子建立范数估计和次可加性性质，确保收敛性和光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低温、非零温度下，具有非凸势能的非线性弹性模型是否成立柯西-伯恩法则？
• RQ2 尽管存在非凸微观相互作用，此类模型的自由能是否在仿射形变下严格凸？
• RQ3 在适当缩放下，这些模型的吉布斯测度的标度极限是什么？
• RQ4 重整化群技术如何扩展至具有有限范围、非对称相互作用的向量模型？
• RQ5 控制非凸梯度系统中强关联性需要哪些新的技术工具？

主要发现

• 在足够低的温度和小形变下，自由能作为仿射形变的函数表现出严格凸性，证实了柯西-伯恩法则的一种形式。
• 吉布斯测度拉普拉斯变换的标度极限对应于具有特定非平凡协方差矩阵的高斯梯度场。
• 基于权重函数的新大场调节器确保了收敛性，并实现了对系统中强关联性的控制。
• 重整化映射被证明是光滑且行为良好的，其线性化算子和逆算子具有统一有界性。
• 该方法成功处理了非对称、有限范围的相互作用，无需依赖旋转对称性，从而扩展了严格重整化技术的适用范围。
• 抽象微扰定理提供了一个通用框架，可推导出广义梯度模型、离散弹性理论以及抽象微扰结果。