[论文解读] Cauchy difference priors for edge-preserving Bayesian inversion with an application to X-ray tomography

Markku Markkanen, Lassi Roininen+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文提出柯西差分先验用于线性反问题中的边缘保持贝叶斯反演，利用α=1的Lévy α稳定随机游走以在重建中保持边缘保真度。该方法在X射线断层扫描中优于高斯先验和总变差先验，尤其在测量值较少或噪声较高时表现更优，通过马尔可夫链蒙特卡洛方法计算条件均值估计，以及通过高斯-牛顿优化计算最大后验估计，均在密集网格上实现了鲁棒且无伪影的重建。

ABSTRACT

We study Cauchy-distributed difference priors for edge-preserving Bayesian statistical inverse problems. On the contrary to the well-known total variation priors, one-dimensional Cauchy priors are non-Gaussian priors also in the discretization limit. Cauchy priors have independent and identically distributed increments. One-dimensional Cauchy and Gaussian random walks are special cases of Lévy $α$-stable random walks with $α=1$ and $α=2$, respectively. Both random walks can be written in closed-form, and as priors, they provide smoothing and edge-preserving properties. We briefly discuss also continuous and discrete Lévy $α$-stable random walks, and generalize the methodology to two-dimensional priors. We apply the developed algorithm to one-dimensional deconvolution and two-dimensional X-ray tomography problems. We compute conditional mean estimates with single-component Metropolis-Hastings and maximum a posteriori estimates with Gauss-Newton-type optimization method. We compare the proposed tomography reconstruction method to filtered back-projection estimate and conditional mean estimates with Gaussian and total variation priors.

研究动机与目标

• 开发一种与离散化无关的、保持边缘的贝叶斯反问题先验，避免高斯先验带来的平滑伪影。
• 解决高维总变差先验因非离散化不变性而导致的边缘保持能力下降问题。
• 探索使用柯西分布增量的差分先验作为具有稳定重尾行为的非高斯替代方案。
• 将该方法应用于一维去卷积和二维X射线断层扫描，与标准先验和滤波反投影方法进行性能比较。
• 证明柯西先验即使在密集计算网格上也能保持边缘保持能力，而此时总变差先延会失效。

提出的方法

• 构建一维柯西差分先验作为α=1的Lévy α稳定随机游走的特例，确保在离散化极限下保持非高斯增量。
• 使用单分量马尔可夫链蒙特卡洛采样方法计算后验分布的条件均值（CM）估计。
• 采用高斯-牛顿型优化方法计算柯西先验下的最大后验（MAP）估计。
• 将先验应用于一维去卷积和二维X射线断层扫描，采用带有加性高斯噪声的线性前向模型。
• 通过MEX/C接口实现算法以提高计算效率，链长为500万，预 burn-in 步骤为250万。
• 通过构建在极限下收敛于连续柯西随机场的先验，确保离散化不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯西分布增量的差分先验是否能在保持离散化不变性的同时，在贝叶斯反演中保持边缘？
• RQ2 在信噪比较低的情况下，柯西先验与高斯先验和总变差先验相比，其重建质量如何？
• RQ3 在高维反问题中，使用α=1的Lévy α稳定随机游走是否比高斯先验或总变差先验具有更好的边缘保持能力？
• RQ4 当测量数减少或噪声增加时，所提方法是否仍能保持性能？
• RQ5 该算法的计算成本是否与未知数数量成正比，表明其可扩展性？

主要发现

• 在X射线断层扫描中，柯西先验的条件均值估计比总变差先验产生更锐利的重建结果，且比高斯先验显著减少伪影。
• 柯西先验在400×400和800×800的密集网格上仍保持边缘保持能力，不同分辨率下的重建结果几乎完全一致。
• 当噪声增加或测量数减少时，柯西先验的条件均值估计比总变差先验更具鲁棒性。
• 柯西先验的最大后验估计比条件均值估计计算更快，但偶尔会引入CM估计中不存在的虚假峰。
• 重建时间与未知数数量近乎线性增长：200×200网格约需24小时，400×400网格约需96小时，表明复杂度为O(N)。
• 滤波反投影产生严重伪影，而柯西先验的重建更准确地捕捉了细小结构和边缘。