[论文解读] Causality of spacetimes admitting a parallel null vector and weak KAM theory

E. Minguzzi|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 68被引用 6

一句话总结

本文建立了具有平行光向量的时空中的因果性与经典力学中弱KAM理论之间的深刻联系。证明了洛伦兹距离等于商时空上力学系统的最小作用量，并表明关键的因果性质——如全局双曲性与强因果性——等价于作用泛函的变分性质，包括强制性与下确界连续性。

ABSTRACT

The causal spacetimes admitting a covariantly constant null vector provide a connection between relativistic and non-relativistic physics. We explore this relationship in several directions. We start proving a formula which relates the Lorentzian distance in the full spacetime with the least action of a mechanical system living in a quotient classical space time. The timelike eikonal equation satisfied by the Lorentzian distance is proved to be equivalent to the Hamilton-Jacobi equation for the least action. We also prove that the Legendre transform on the classical base corresponds to the musical isomorphism on the light cone, and the Young-Fenchel inequality is nothing but a well known geometric inequality in Lorentzian geometry. A strategy to simplify the dynamics passing to a reference frame moving with the E.-L. flow is explained. It is then proved that the causality properties can be conveniently expressed in terms of the least action. In particular, strong causality coincides with stable causality and is equivalent to the lower semi-continuity of the classical least action on the diagonal, while global hyperbolicity is equivalent to the coercivity condition on the action functional. The classical Tonelli's theorem in the calculus of variations corresponds, then, to the well known result that global hyperbolicity implies causal simplicity. The well known problem of recasting the metric in a global Rosen form is shown to be equivalent to that of finding global solutions to the Hamilton-Jacobi equation having complete characteristics.

研究动机与目标

• 在存在平行光向量的时空中，建立洛伦兹几何与经典力学之间的对应关系。
• 以作用泛函的变分性质来刻画因果性质（例如全局双曲性、强因果性）。
• 证明最小作用量的哈密顿-雅可比方程与洛伦兹eikonal方程等价。
• 表明几何结构（如光锥、音乐同构）与经典力学结构（如勒让德变换、Young-Fenchel不等式）之间存在对应关系。

提出的方法

• 推导出全时空中洛伦兹距离与商经典时空上力学系统最小作用量相等的公式。
• 证明洛伦兹eikonal方程与最小作用量泛函的哈密顿-雅可比方程之间的等价性。
• 识别经典底流形上的勒让德变换与光锥上的音乐同构之间的对应关系，从而连接几何与变分结构。
• 利用Young-Fenchel不等式恢复洛伦兹几何中已知的几何不等式。
• 通过欧拉-拉格朗日流引入参考系变换，以简化动力学。
• 应用变分法中的Tonelli定理，恢复全局双曲性蕴含因果简单性的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平行光向量的时空中，洛伦兹距离与经典力学系统最小作用量之间有何关系？
• RQ2 在此几何设定下，哈密顿-雅可比方程与洛伦兹eikonal方程之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否通过作用泛函的变分性质来刻画因果性质，如全局双曲性与强因果性？
• RQ4 全局罗森坐标的存在性是否等价于具有完全特征的哈密顿-雅可比方程的全局解的存在性？
• RQ5 在何种条件下，区分性（一种因果性质）成立，又在何种情况下可能失效？

主要发现

• 两个事件之间的洛伦兹距离等于商时空上经典力学系统的最小作用量，从而在相对论与经典力学之间建立了直接联系。
• 最小作用量的哈密顿-雅可比方程与洛伦兹eikonal方程等价，统一了几何与动力学中的两个基本方程。
• 强因果性等价于稳定因果性，也等价于作用泛函在对角线上的下确界连续性，从而提供了变分表征。
• 全局双曲性等价于作用泛函的强制性，且该等价关系恢复了变分法中的Tonelli定理。
• 时空不一定是区分的；例如，当势能增长快于二次型时（如 $V(t,q) = kq^4$），区分性会失效。
• 在某些情况下，作用泛函可被一致地从下方有界，从而蕴含下确界连续性，因此即使势能为时变且奇异，强因果性依然成立。