[论文解读] Cayley 4-frames and a quaternion-Kähler reduction related to Spin(7)

Liviu Ornea, Paolo Piccinni|ArXiv.org|Jun 13, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$ 作用，对 $$\mathbb{H}P^7$$ 构造了四元数 Kähler 退化，得到了 Cayley Grassmannian $\mathrm{CAYLEY}$ 的 $\mathbb{Z}_2$-商，该商与 Grassmannian $\mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^7)$ 等距。该退化产生了一个具有 3-Sasakian 分层的奇异轨道丛结构，通过加权推广，提供了非齐次、非环状的 3-Sasakian 流形的新例子。

ABSTRACT

We describe an action of $U(1) imes Sp(1)$ on $HP^7$ that allows to obtain a $Z_2$-quotient of CAYLEY (the Grassmannian of oriented 4-planes in $R^8$ closed under the three-fold cross product) by quaternionic Kähler reduction.

研究动机与目标

• 通过 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$ 作用对 $\mathbb{H}P^7$ 构造四元数 Kähler 退化，以获得 Cayley Grassmannian $\mathrm{CAYLEY}$ 的商。
• 将所得商描述为一个 $\mathbb{Z}_2$-轨道丛，其奇异层与复 Grassmannian $\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^4)$ 等距。
• 建立退化产生一个 3-Sasakian 轨道丛结构，其中奇异层在等距 $\mathrm{CAYLEY} \cong \mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^7)$ 下对应于 $\mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^6)\subset\mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^7)$。
• 证明该构造可通过加权 $\mathrm{U}(1)$ 作用推广，从而产生一族 12 维四元数 Kähler 轨道丛，其某些成员具有光滑的 15 维 3-Sasakian 覆盖。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^8$ 中定向正交四元基的 Stiefel 流形上，通过一个 moment map $\mu$ 定义 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$ 在 $\mathbb{H}P^7$ 上的作用，其中 $\mu^{-1}(0)$ 对应于 Cayley 四元基。
• 为 $\mathrm{U}(1)$-因子引入第二个 moment map $\nu$，定义为 $\nu(\vec{h}) = \sum_{\beta=1}^4 (\overline{h}_{2\beta-1}h_{2\beta} - \overline{h}_{2\beta}h_{2\beta-1})$，用于编码坐标对的 $\mathrm{U}(1)$-旋转。
• 将约化空间定义为 $\mathcal{N} = \mu^{-1}(0) \cap \nu^{-1}(0)$，并证明其为 $\mathrm{U}(1)\cdot V$，其中 $V$ 是 Cayley 四元基的集合。
• 分析 $\mathcal{N}$ 上的 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$-轨道，发现 $\mathbb{Z}_4 \subset \mathrm{U}(1)\cap\mathrm{Spin}(7)$ 的作用在 $\mathrm{SU}(4)/\mathrm{Sp}(1)$ 中固定了框架，从而产生 $\mathbb{Z}_2$-不动点。
• 将商 $\mathbb{Z}_2\backslash\mathrm{CAYLEY}$ 识别为具有奇异层的奇异四元数 Kähler 轨道丛，该奇异层与 $\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^4)$ 等距。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Cayley Grassmannian $\mathrm{CAYLEY}$ 实现为 $\mathbb{H}P^7$ 的四元数 Kähler 退化？
• RQ2 何种 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$-作用在 $\mathbb{H}P^7$ 上能导致 $\mathrm{CAYLEY}$ 的 $\mathbb{Z}_2$-商？
• RQ3 所得轨道丛中奇异层的几何性质是什么？
• RQ4 加权 $\mathrm{U}(1)$-作用如何推广此构造，以产生新的 12 维四元数 Kähler 轨道丛？

主要发现

• 在 $\mathrm{U}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$ 作用下，$\mathbb{H}P^7$ 的四元数 Kähler 商与 $\mathbb{Z}_2\backslash\mathrm{CAYLEY}$ 等距，后者是一个具有 3-Sasakian 结构的奇异轨道丛。
• 该轨道丛的奇异层与复 Grassmannian $\mathrm{Gr}_2(\mathbb{C}^4)$ 等距，该层在等距 $\mathrm{CAYLEY} \cong \mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^7)$ 下对应于 $\mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^6) \subset \mathrm{Gr}_4(\mathbb{R}^7)$。
• $\mathbb{Z}_2$-作用源于 $\mathrm{U}(1)\cap\mathrm{Spin}(7)$ 中的 $\mathbb{Z}_4$-子群，不动点对应于 $\mathrm{SU}(4)/\mathrm{Sp}(1)$ 中的复单位酉框架。
• 在相同退化框架下，加权 $\mathrm{U}(1)$-作用产生一族 12 维四元数 Kähler 轨道丛，其中某些成员具有光滑的 15 维 3-Sasakian 覆盖。
• 这些 3-Sasakian 流形是首个已知的既非齐次也非环状的例子，为 $\mathrm{Spin}(7)$-相关几何提供了新的几何结构。