[论文解读] Cayley graphs and symmetric interconnection networks

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文研究了对称互连网络中使用的凯莱图的自同构群和容错特性。通过证明其生成矩阵中任意一列都不是另外两列之和，从而表明边传递的凯莱图（包括超立方体和折叠超立方体）实现了最优顶点连通性——即等于其最小度，确保对顶点故障具有最大鲁棒性。

ABSTRACT

These lecture notes are on automorphism groups of Cayley graphs and their applications to optimal fault-tolerance of some interconnection networks. We first give an introduction to automorphisms of graphs and an introduction to Cayley graphs. We then discuss automorphism groups of Cayley graphs. We prove that the vertex-connectivity of edge-transitive graphs is maximum possible. We investigate the automorphism group and vertex-connectivity of some families of Cayley graphs that have been considered for interconnection networks; we focus on the hypercubes, folded hypercubes, Cayley graphs generated by transpositions, and Cayley graphs from linear codes. New questions and open problems are also discussed.

研究动机与目标

• 分析凯莱图的自同构群及其在网络对称性与容错性中的作用。
• 建立凯莱图实现最优顶点连通性的条件，这对容错互连网络至关重要。
• 研究特定凯莱图族（包括超立方体、折叠超立方体、换位生成图以及线性码生成的图）的结构性质。
• 识别生成矩阵的充分条件，以保证在 $\mathbb{Z}_2^r$ 上的凯莱图实现最优容错性。
• 提出关于对称网络拓扑中自同构群与连通性的新开放问题。

提出的方法

• 利用萨比杜西的定理，通过顶点集上的正则群作用来刻画凯莱图。
• 应用沃特克斯的原子部分理论，证明边传递图具有最大可能的顶点连通性。
• 运用群作用与图对称性，表明所有凯莱图均为顶点传递图，且正规凯莱图具有正则自同构子群。
• 分析在 $\mathbb{F}_2$ 上由 0-1 矩阵生成的凯莱图，其中生成集 $S$ 对应于矩阵的列。
• 应用在 $\mathbb{F}_2^r$ 中任意一列都不是另外两列之和的条件，以证明凯莱图的最优容错性。
• 利用 $\mathbb{F}_2$ 上的线性代数，证明满秩矩阵生成的凯莱图与超立方体同构，并通过奇偶校验矩阵刻画折叠超立方体。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，凯莱图的顶点连通性等于其最小度，表明其具有最优容错性？
• RQ2 凯莱图的自同构群如何影响互连网络的对称性与鲁棒性？
• RQ3 生成矩阵的何种结构性质可确保其生成的凯莱图具有最优连通性？
• RQ4 折叠超立方体能否被表征为线性码生成的凯莱图？其是否继承了该结构的最优容错性？
• RQ5 是否存在由线性码生成的新一类凯莱图，其具有最优连通性与高对称性？

主要发现

• 边传递图（包括许多凯莱图）的顶点连通性达到最大可能值，且等于其最小度。
• 超立方体图 $Q_n$ 具有最优容错性，因为其生成矩阵（单位矩阵）在 $\mathbb{F}_2^r$ 中任意一列都不是另外两列之和。
• 对于 $n \geq 4$，折叠超立方体 $FQ_n$ 同样实现最优容错性，因其生成矩阵（重复码的奇偶校验矩阵）满足相同的列和条件。
• 由 $\mathbb{F}_2$ 上的 $r \times n$ 满秩矩阵 $\mathcal{H}$ 生成的凯莱图，若 $\mathcal{H}$ 为单位矩阵，则与 $Q_r$ 同构。
• 若生成矩阵 $\mathcal{H}$ 在 $\mathbb{F}_2^r$ 中任意一列都不是另外两列之和，则凯莱图 $\mathrm{Cay}(\mathbb{Z}_2^r, S)$ 具有最优容错性。
• 由线性码生成的凯莱图——特别是那些奇偶校验矩阵满秩且无一列是其他两列之和的图——表现出最优连通性，是容错网络设计的强有力候选。