[论文解读] Cayley transform applied to non-interacting quantum transport

Horia D. Cornean, Hagen Neidhardt+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 2

一句话总结

本文将兰道尔-布蒂克形式化推广至处理非相互作用量子输运中的无界、非自伴及下无界的算符。证明了纯点谱子空间与奇异连续谱子空间不贡献于稳态电流，并推导出具有伪相对论性输运端口和耗散边界条件，或具有点相互作用的狄拉克算符系统的显式电流公式。

ABSTRACT

We extend the Landauer-Büttiker formalism in order to accommodate both unitary and self-adjoint operators which are not bounded from below. We also prove that the pure point and singular continuous subspaces of the decoupled Hamiltonian do not contribute to the steady current. One of the physical applications is a stationary charge current formula for a system with four pseudo-relativistic semi-infinite leads and with an inner sample which is described by a Schrödinger operator defined on a bounded interval with dissipative boundary conditions. Another application is a current formula for electrons described by a one dimensional Dirac operator; here the system consists of two semi-infinite leads coupled through a point interaction at zero.

研究动机与目标

• 将兰道尔-布蒂克形式化推广至处理不从下有界的酉算符与自伴算符。
• 阐明谱子空间（纯点与奇异连续）在决定非相互作用量子系统稳态电流中的作用。
• 推导具有伪相对论性半无限输运端口并耦合至具有耗散边界条件的有界样品的系统的显式电荷电流公式。
• 为在零点具有点相互作用的狄拉克算符描述的电子建立电流公式。

提出的方法

• 将Cayley变换适配为将无界自伴算符映射为有界酉算符，从而在扩展形式化中实现谱分析。
• 将扩展形式化应用于具有四个半无限输运端口和由具有耗散边界条件的薛定谔算符控制的有界区间样品的系统。
• 利用Cayley变换生成的酉演化，在无相互作用情况下计算散射振幅与电流算符。
• 通过兰道尔-布蒂克方法推导电流公式，将稳态电流表达为散射矩阵的透射振幅。
• 考虑在原点具有点相互作用的一维狄拉克算符模型，使用相同形式化计算电流。
• 证明纯点谱子空间与奇异连续谱子空间对稳态电流的贡献消失，依赖于谱分解与迹类算子论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将兰道尔-布蒂克形式化扩展至处理不从下有界的算符？
• RQ2 在非相互作用量子输运中，解耦哈密顿量的哪些谱子空间对稳态电流有贡献？
• RQ3 具有四个伪相对论性输运端口和具有耗散边界条件的有界样品的系统的电荷电流的显式表达式是什么？
• RQ4 在零点具有点相互作用的一维狄拉克模型中，电流行为如何？
• RQ5 Cayley变换能否用于严格处理具有无界哈密顿量的系统的散射与电流？

主要发现

• 解耦哈密顿量的纯点谱子空间与奇异连续谱子空间不贡献于稳态电流。
• 通过扩展形式化，推导出具有四个伪相对论性输运端口和具有耗散边界条件的有界样品的系统的电流公式。
• 对于具有点相互作用的一维狄拉克模型，通过广义兰道尔-布蒂克方法显式计算了稳态电流。
• Cayley变换通过将无界、不从下有界的算符转化为有界酉算符，实现了对量子输运中这些算符的一致处理。
• 当谱性质被适当地分析时，该形式化对具有非自伴哈密顿量的系统依然有效。
• 通过谱分解与迹类考虑，严格确立了纯点谱与奇异连续谱对电流无贡献。