[论文解读] CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文建立了辛流形几何中高斯引理的子黎曼版本，并证明了在子黎曼卡诺群中光滑非特征超曲面存在度量法向量。文章推导了正常CC测地线的变分公式和雅可比型方程，并表明在2步卡诺群中，从$ C^k $-光滑超曲面出发的CC距离函数在其超曲面邻域内（除去特征集）是$ C^k $-光滑的。
In this paper we study the main geometric properties of the Carnot-Carathéodory (abbreviated CC) distance $\dc$ in the setting of $k$-step sub-Riemannian Carnot groups from many different points of view. An extensive study of the so-called normal CC-geodesics is given. We state and prove some related variational formulae and we find suitable Jacobi-type equations for normal CC-geodesics. One of our main results is a sub-Riemannian version of the Gauss Lemma. We show the existence of the metric normal for smooth non-characteristic hypersurfaces. We also compute the sub-Riemannian exponential map $\exp\sr$ for the case of 2-step Carnot groups. Other features of normal CC-geodesics are then studied. We show how the system of normal CC-geodesic equations can be integrated step by step. Finally, we show a regularity property of the CC-distance function $δ\cc$ from a $\cont^k$-smooth hypersurface $S$.
研究动机与目标
- 建立卡诺群中经典高斯引理的子黎曼类比。
- 证明在子黎曼卡诺群中光滑非特征超曲面上存在度量法向量。
- 分析在2步卡诺群中从$ C^k $-光滑超曲面出发的CC距离函数的正则性。
- 提供2步卡诺群中正常CC测地线方程的显式积分。
提出的方法
- 利用子黎曼指数映射推导正常CC测地线的变分公式和雅可比型方程。
- 引入并分析2步卡诺群的子黎曼指数映射$ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $。
- 通过正常测地线及其迭代积分来刻画CC距离。
- 利用CC球面上梯度与黎曼法向量的关系，应用度量法向量的概念。
- 在超曲面邻域内（除去特征集）建立唯一最近点性质。
- 依赖$ k $-步卡诺群的结构及2步情形下CC测地线的显式形式，推导光滑性结果。
实验结果
研究问题
- RQ1在卡诺群中是否存在子黎曼版本的高斯引理？
- RQ2是否可以在子黎曼卡诺群中为光滑非特征超曲面定义度量法向量？
- RQ3在2步卡诺群中，从$ C^k $-光滑超曲面出发的CC距离函数本身是否为$ C^k $-光滑？
- RQ4如何在2步卡诺群中逐步积分正常CC测地线方程组？
- RQ5在子黎曼设定下，到光滑超曲面的最近点投影映射的正则性如何？
主要发现
- 本文证明了子黎曼版本的高斯引理，确立了在某点处CC距离函数的梯度即为度量法向量。
- 在卡诺群中，光滑非特征超曲面对应的度量法向量存在且定义良好。
- 在2步卡诺群中，从$ C^k $-光滑超曲面出发的CC距离函数在其超曲面邻域内（除去特征集）是$ C^k $-光滑的。
- 2步卡诺群中子黎曼指数映射$ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $被显式计算。
- 证明了CC距离函数的梯度为$ C^{k-1} $-光滑，从而表明距离函数为$ C^k $-光滑。
- 在超曲面邻域内（除去特征集）唯一最近点性质成立，确保了超曲面上最近点的局部唯一性。
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