[论文解读] CD meets CAT

Vitali Kapovitch, C. Ketterer|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文通过证明非坍缩的 $CD(K,n)$ 空间若具有上界曲率 $\kappa$，则必有 $K \le (n-1)\kappa$，且为下曲率有界于 $K - \kappa(n-2)$ 的亚历山大罗夫空间，建立了黎曼流形与度量测度空间之间曲率上界与下界的关系。此外，还证明了具有有限 $n$ 和上曲率界的此类 $CD(K,n)$ 空间是无穷小希尔伯特空间。

ABSTRACT

We show that if a noncollapsed $CD(K,n)$ space $X$ with $n\ge 2$ has curvature bounded above by $\kappa$ in the sense of Alexandrov then $K\le (n-1)\kappa$ and $X$ is an Alexandrov space of curvature bounded below by $K-\kappa (n-2)$. We also show that if a $CD(K,n)$ space $Y$ with finite $n$ has curvature bounded above then it is infinitesimally Hilbertian.

研究动机与目标

• 研究非坍缩 $CD(K,n)$ 空间中上曲率与下曲率约束之间的相互作用。
• 确定具有上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间在何种条件下成为下曲率有界受控的亚历山大罗夫空间。
• 分析具有有限 $n$ 和上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间的几何与分析性质，特别是其无穷小希尔伯特性。
• 在度量测度空间的曲率界与亚历山大罗夫空间结构之间建立桥梁。

提出的方法

• 利用 $CD(K,n)$ 空间的理论，该理论在度量测度空间中推广了里奇曲率的下界。
• 应用非坍缩 $CD(K,n)$ 空间的概念，以确保空间具有明确定义的维数和体积测度。
• 采用亚历山大罗夫曲率界（上界与下界）来比较度量与曲率性质。
• 使用比较几何技术推导出 $K$、$\kappa$ 与 $n$ 之间的不等式关系。
• 应用无穷小希尔伯特性的概念，将度量结构与希尔伯特余切丛的存在性联系起来。
• 结合曲率比较定理与度量测度几何的结构性结果，推导出主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非坍缩的 $CD(K,n)$ 空间中，下曲率界 $K$ 与上曲率界 $\kappa$ 之间存在何种关系？
• RQ2 在何种条件下，具有上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间会成为下曲率有界受控的亚历山大罗夫空间？
• RQ3 具有有限 $n$ 和上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间是否必然满足无穷小希尔伯特性？
• RQ4 曲率界 $K$ 与 $\kappa$ 如何相互作用以约束空间的几何结构？
• RQ5 能否通过亚历山大罗夫几何完全刻画具有上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间结构？

主要发现

• 若非坍缩的 $CD(K,n)$ 空间满足 $n \ge 2$ 且曲率有上界 $\kappa$，则必有 $K \le (n-1)\kappa$。
• 该空间是下曲率有界于 $K - \kappa(n-2)$ 的亚历山大罗夫空间。
• 对于具有有限 $n$ 和上曲率界的 $CD(K,n)$ 空间，该空间是无穷小希尔伯特空间。
• 曲率界受到维数 $n$ 的严格约束，其中下界线性依赖于 $\kappa$ 与 $n$。
• 结果在 $CD(K,n)$ 空间及其亚历山大罗夫空间结构之间建立了曲率界之间的层级关系。
• 研究结果统一了度量测度空间中里奇曲率界与亚历山大罗夫几何的若干方面。