[论文解读] Cech Closure Spaces: A Framework for Discrete Homotopy

Antonio Rieser|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Cech闭包算子的闭包空间同伦理论，实现了度量空间、图和单纯复形中的离散同伦。该理论建立了Seifert-van Kampen定理，提出了具有交错距离的持久同伦，并表明在适当的闭包结构下，从圆周图到圆周图的连续映射可诱导基本群之间的同构。

ABSTRACT

Motivated by constructions in topological data analysis and algebraic combinatorics, we study homotopy theory on the category of closure spaces, the category whose objects are sets endowed with a Cech closure operator and whose morphisms are the continuous maps between them. We introduce new classes of closure structures on metric spaces, graphs, and simplicial complexes, and we show how each of these cases gives rise to an interesting homotopy theory. In particular, we show that there exists a natural family of closure structures on metric spaces which produces a non-trivial homotopy theory for finite metric spaces, i.e. point clouds, the spaces of interest in topological data analysis. We then give a closure structure to graphs and simplicial complexes which may be used to construct a new combinatorial (as opposed to topological) homotopy theory for each skeleton of those spaces. We further show that there is a Seifert-van Kampen theorem for closure spaces, a well-defined notion of persistent homotopy and an associated interleaving distance. As an illustration of the difference with the topological setting, we calculate the fundamental group for the circle, 'circular graphs', and the wedge of circles endowed with different closure structures. Finally, we produce a continuous map from the topological circle to 'circular graphs' which induces an isomorphism on the fundamental groups, given appropriate closure structures.

研究动机与目标

• 通过闭包算子为有限度量空间、图和单纯复形等离散结构构建同伦理论。
• 解决有限点云中缺乏非平凡同伦理论的问题，这是拓扑数据分析中的核心对象。
• 通过在图和单纯复形上定义闭包结构，提供一种组合同伦理论的替代方案，以替代传统的拓扑同伦理论。
• 建立如Seifert-van Kampen定理等基础定理，并在闭包空间框架中定义具有交错距离的持久同伦。

提出的方法

• 在度量空间上定义Cech闭包算子，以对有限点云建立非平凡的同伦理论。
• 在图和单纯复形上引入闭包结构，以构建不依赖于拓扑嵌入的组合同伦理论。
• 为闭包空间形式化Seifert-van Kampen定理，以通过粘合构造计算基本群。
• 通过跟踪尺度变化下的闭包结构来定义持久同伦，并引入相应的交错距离。
• 利用从拓扑圆周到圆周图的连续映射，比较不同闭包结构下的同伦群。
• 应用闭包结构计算圆周、圆周图及圆周的楔积的基本群，揭示其对闭包选择的结构依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过闭包算子在有限度量空间上定义非平凡的同伦理论？
• RQ2 图和单纯复形上的闭包结构如何产生一种与传统拓扑同伦理论不同的组合同伦理论？
• RQ3 在闭包空间范畴中，Seifert-van Kampen定理是否成立？
• RQ4 能否在闭包空间框架中严格定义具有交错距离的持久同伦？
• RQ5 在适当的闭包结构下，从拓扑圆周到圆周图的连续映射是否能诱导基本群之间的同构？

主要发现

• 在度量空间上自然存在的闭包结构族可为有限度量空间建立非平凡的同伦理论，从而实现对点云有意义的同伦理论分析。
• 图和单纯复形上的闭包结构支持一个明确定义的组合同伦理论，且不依赖于拓扑嵌入。
• 已为闭包空间建立Seifert-van Kampen定理，使得可通过分解与粘合来计算基本群。
• 在闭包空间框架中定义了持久同伦，并引入了相应的交错距离，用于度量尺度间的变化稳定性。
• 圆周、圆周图及圆周的楔积的基本群对所选闭包结构极为敏感，显示出显著的结构依赖性。
• 在适当的闭包结构下，从拓扑圆周到圆周图的连续映射可诱导基本群之间的群同构。