[论文解读] Cech cocycles for differential characteristic classes -- An infinity-Lie theoretic construction

Domenico Fiorenza, Urs Schreiber+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 45

一句话总结

本文通过Čech上链构造了基于∞-李理论的微分特征类，将陈-韦伊理论中的次级特征类从上同调集提升至上链空间，实现了对光滑∞-群的高阶U(1)-gerbe与联络的微分特征映射的构造。该映射从主∞-丛与联络的∞-群胚映射到高阶U(1)-gerbe与联络的∞-群胚，其同伦纤维描述了如扭曲微分的弦结构与五brane结构等扭曲微分结构。

ABSTRACT

What are called secondary characteristic classes in Chern-Weil theory are a refinement of ordinary characteristic classes of principal bundles from cohomology to differential cohomology. We consider the problem of refining the construction of secondary characteristic classes from cohomology sets to cocycle spaces; and from Lie groups to higher connected covers of Lie groups by smooth infinity-groups, i.e., by smooth groupal A-infinity-spaces. Namely, we realize differential characteristic classes as morphisms from infinity-groupoids of smooth principal infinity-bundles with connections to infinity-groupoids of higher U(1)-gerbes with connections. This allows us to study the homotopy fibers of the differential characteristic maps thus obtained and to show how these describe differential obstruction problems. This applies in particular to the higher twisted differential spin structures called twisted differential string structures and twisted differential fivebrane structures.

研究动机与目标

• 将陈-韦伊理论中的次级特征类从上同调集精炼为上链空间。
• 将构造从李群推广至通过光滑∞-群（光滑的A∞-空间）实现的更高连通覆盖。
• 将微分特征类实现为带有联络的主∞-丛∞-群胚与高阶U(1)-gerbe与联络∞-群胚之间的态射。
• 研究这些微分特征映射的同伦纤维作为微分障碍问题。
• 将该框架应用于高阶扭曲微分结构，如异位和磁对偶异位弦理论中的扭曲微分弦结构与五brane结构。

提出的方法

• 将光滑∞-群定义为L∞-代数的∞-李积分，从而实现带有联络的光滑主∞-丛的构造。
• 通过∞-李积分利用∞-陈-韦伊同态，将带有联络的∞-丛映射到微分上同调类。
• 通过将L∞-代数上链提升为带有联络的丛与gerbe的∞-群胚之间的态射，构造微分特征映射。
• 利用Čech-de Rham复形在局部与全局表示曲率特征类。
• 将微分特征映射的同伦纤维表征为扭曲微分结构的模空间。
• 将形式化应用于李2-代数上的典型3-与7-上链，恢复扭曲微分弦结构与五brane结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将陈-韦伊理论中的次级特征类从上同调精炼为上链空间？
• RQ2 对李群的更高连通覆盖，其微分特征类的∞-李理论构造为何？
• RQ3 微分特征映射的同伦纤维如何编码扭曲微分结构？
• RQ4 ∞-陈-韦伊同态在将曲率特征类提升至微分上同调中起何作用？
• RQ5 这些结果与异位和磁对偶异位弦理论中的异常抵消机制有何关联？

主要发现

• G-主∞-丛与联络的微分特征类被实现为从该类丛的∞-群胚到高阶U(1)-gerbe与联络的∞-群胚的态射。
• 对于单连通、单李群G的李代数上的典型3-上链，该构造将第一分式Pontryagin类精炼为上链水平的映射。
• 该映射的同伦纤维是光滑String(G)-主2-丛与2-联络的2-群胚，提供了弦结构的微分精炼。
• 非平凡类上的同伦纤维对应于扭曲微分弦结构的2-群胚，其控制异位弦理论中的Green-Schwarz异常抵消。
• 将该构造应用于String-2-群上的7-上链，得到String-主2-丛的次级特征映射，精炼了第二分式Pontryagin类。
• 该映射的同伦纤维是Fivebrane 6-群上主6-丛与6-联络的6-群胚，非平凡纤维对应于磁对偶异位弦理论中的扭曲微分五brane结构。