[论文解读] Cech-De Rham theory for leaf spaces of foliations

Marius Crainic, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Dec 10, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了叶丛的叶空间上上同调的Cech-De Rham模型，提供了一种几何的、无需处理非豪斯多夫结构的替代传统模型（如分类空间或全息群丛）的方法。通过在叶空间上直接使用显式几何方法构造特征类，该研究在叶空间上同调层面建立了Bott消去定理和庞加莱对偶性，其应用涵盖普遍特征类与Ruelle-Sullivan当前。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present a ``Cech-De Rham'' model for the cohomology of leaf spaces. This model lends itself to the construction of characteristic classes (in the cohomology of classifying spaces) by explicit geometrical constructions which are immediate extensions of the standard constructions for manifolds. In particular we rediscover (and explain) the Thurston formula and the Bott formulas for cocycles on diffeomorphism groups. We also use the Cech-De Rham model to explicitly describe the relation between the cohomology of the classifying space, the basic cohomology, and the foliated cohomology of foliations.

研究动机与目标

• 为克服现有叶空间上同调模型的局限性，如非豪斯多夫结构和分类空间中光滑性的丧失。
• 在叶空间 $M/\mathcal{F}$ 的上同调中，提供一种几何的、直接的特征类构造方法，而非在 $H^*(M)$ 中进行。
• 通过新的Cech-De Rham模型，在叶空间上同调层面建立庞加莱对偶性和Bott消去定理。
• 通过谱序列和Van Est型映射，将新上同调模型与基本上同调、叶丛上同调以及全息群丛的上同调联系起来。
• 通过Haefliger群丛显式实现普遍特征类的几何构造，恢复Thurston和Bott的公式。

提出的方法

• 本文使用横截基 $\mathcal{U}$ 定义叶空间上的链，构建一个Cech-De Rham双复形。
• 通过Cech-De Rham复形的总上同调定义上同调理论 $H^*(M/\mathcal{F})$，避免依赖全息群丛或分类空间。
• 使用Van Est映射 $\Phi: H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}}) \to H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ 将Cech-De Rham上同调与叶丛的叶丛上同调联系起来。
• 通过映射 $\int_{\mathcal{F}}: H^p_c(\mathcal{F}) \to H^{p-q}_c(M/\mathcal{F}; \Omega^0_{\text{bas}})$ 定义沿叶的积分，该映射与Van Est映射对偶。
• 利用谱序列将Cech-De Rham模型与基本上同调及叶丛上同调联系起来，其中 $E^{s,t}_1 = H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ 收敛于 $H^{s+t}(M/\mathcal{F})$。
• 通过埃莱特群丛技巧证明该模型与全息群丛上同调之间存在拟同构，从而证明其与已有模型的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种几何的、无需处理非豪斯多夫问题的叶空间上同调理论，以支持特征类的直接构造？
• RQ2 Cech-De Rham模型是否能在叶空间上同调层面恢复已知结果，如Bott消去定理和庞加莱对偶性？
• RQ3 通过谱序列和自然映射，叶空间上同调、基本上同调与叶丛上同调之间有何关系？
• RQ4 能否通过该模型显式几何地构造Haefliger群丛的普遍特征类？
• RQ5 沿叶积分与横截测度在实现Ruelle-Sullivan当前中起何作用？

主要发现

• Cech-De Rham模型为叶空间 $M/\mathcal{F}$ 提供了一种几何上同调理论，避免了非豪斯多夫问题，并支持特征类的直接构造。
• 当叶的全息覆盖为 $k$-连通时，Van Est映射 $\Phi$ 在度数 $s \leq k$ 内诱导 $H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ 与 $H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ 之间的同构。
• 沿叶积分映射 $\int_{\mathcal{F}}$ 与Van Est映射对偶，并为Ruelle-Sullivan当前在 $M$ 上的度数 $p$ 当前提供几何实现。
• 带有紧支集的Cech-De Rham上同调满足与标准上同调的对偶性，从而自然地将[10]中的庞加莱对偶性扩展为流形标准论证的推广。
• 通过Haefliger群丛的几何构造普遍特征类，该模型恢复了微分同胚群上胞状类的Thurston和Bott公式。
• 通过Cech-De Rham模型，横截主丛在 $(M, \mathcal{F})$ 上的特征类被证明可从 $H^*(M)$ 提升至 $H^*(M/\mathcal{F})$，且所有标准关系均被保持。