[论文解读] Cellular Automata Using Infinite Computations

Louis D’Alotto|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文引入了一种基于亚罗拉夫·塞吉耶夫的无穷单位公理（grossone）的一维元胞自动机新度量，实现了对无限配置的精确计算。通过用基于grossone的算术取代经典极限，该方法量化了在前向动力学下保持相近的配置数量，解决了传统度量中的不准确性，并实现了对开球内点和等价类 $B_{m,n}(x)$ 的精确计数。

ABSTRACT

This paper presents an application of the Infinite Unit Axiom, introduced by Yaroslav Sergeyev, (see [11] - [14]) to the development of one-dimensional cellular automata. This application allows the establishment of a new and more precise metric on the space of definition for one-dimensional cellular automata, whereby accuracy of computations is increased. Using this new metric, open disks are defined and the number of points in each disk is computed. The forward dynamics of a cellular automaton map are also studied via defined equivalence classes. Using the Infinite Unit Axiom, the number of configurations that stay close to a given configuration under the shift automaton map can now be computed.

研究动机与目标

• 克服经典度量在捕捉序列之间无限一致（尤其是单侧无穷）时的局限性。
• 为元胞自动机中使用的双无穷序列空间 $S^{\mathbb{Z}}$ 开发更精确的度量。
• 实现对在元胞自动机映射前向迭代下保持与给定配置相近的配置数量的精确计算。
• 通过基于grossone的算术量化等价类 $B_{m,n}(x)$ 的大小，扩展元胞自动机动力学的分类。
• 通过用基于grossone的表达式替代极限，解决无限级数计算中的不准确性，例如 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$。

提出的方法

• 采用无穷单位公理，定义 $|\mathbb{N}| = \hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$，将自然数的数量表示为一个有限但无穷的量。
• 用基于grossone的表达式替代经典无限级数，例如 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$，以避免收敛问题并实现精确计算。
• 定义非阿基米德度量 $d(x,y) = 2^{-n}$，其中 $n = \inf\{|i| : x(i) \neq y(i)\}$，并将其扩展以处理单侧区间上的无限一致。
• 引入开球 $C_{[m,n]}(x)$，并使用grossone计算其基数为 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$，以计数配置。
• 定义等价类 $B_{m,n}(x) = \{y \mid d(f^i(y), f^i(x)) < 2^{-|n+1-m|} \; \forall i\}$，表示在前向迭代下保持相近的配置。
• 将该框架应用于左移和右移映射，证明 $|B_{m,n}(x)| \leq |S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$，使用grossone算术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $S^{\mathbb{Z}}$ 上定义一种度量，以捕捉在单侧区间上的无限一致，例如在右侧或左侧无限一致？
• RQ2 在元胞自动机映射的前向迭代下，保持在给定距离内的配置的确切数量是多少？
• RQ3 是否可以通过新计算框架克服经典方法中将所有无限不一致同等对待的局限性？
• RQ4 使用grossone ($\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$) 如何提升元胞自动机中无限级数计算的精度？
• RQ5 在使用基于grossone的度量时，保持与给定配置相近的配置集合的基数是多少，特别是在移位映射下？

主要发现

• 空间 $S^{\mathbb{Z}}$ 的基数为 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} + 1}$，通过使用grossone对索引0两侧的配置进行计数推导得出。
• 开球 $C_{[m,n]}(x)$ 恰好包含 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$ 个元素，提供了经典度量通常给出不可数无穷的有限精确计数。
• 对于左移映射 $\sigma$，等价类 $B_{m,n}(x)$ 最多包含 $|S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$ 个元素，这一精确计数得益于grossone算术。
• 无限级数 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ 比1小一个无穷小量，解决了经典极限的模糊性。
• 当与grossone结合使用时，度量 $d(x,y) = 2^{-n}$ 允许非阿基米德结构，即使一致延伸至无穷，也能根据首次不一致点区分配置。
• 该框架通过量化在前向迭代下保持与给定初始配置相近的配置数量，实现了动力学的精确计算，这一任务此前受限于经典无穷概念。