[论文解读] Cellular harmonic maps which are not diffeomorphisms

F. T. Farrell, Pedro Ontaneda|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过在有限叶覆盖上使用一参数度量族，将非双曲度量连接到实双曲度量，构造了在闭合、负曲率黎曼流形之间非微分同胚的调和细胞映射。关键结果是：在维度 >10 时，此类调和映射存在，且为微分同胚的极限，表明即使被微分同胚逼近，调和映射也不必是微分同胚。

ABSTRACT

We give examples of harmonic cellular maps between negatively curved manifolds which are not diffeomorphisms but are homotopic to diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 证明在闭合、负曲率黎曼流形之间的调和映射不必是微分同胚，即使它们是微分同胚的极限。
• 通过在有限叶覆盖上使用度量形变技术，显式构造非微分同胚的调和细胞映射。
• 探讨此类调和映射的存在性与低维拓扑中庞加莱猜想之间的关系。
• 建立在曲率接近 -1 或实双曲度量下，流形间调和映射非微分同胚或非同胚的条件。
• 通过证明细胞映射可作为非浸入或非单射的调和极限，扩展已知的调和映射与刚性结果。

提出的方法

• 利用存在同胚但非PL同胚的闭合负曲率流形（其中之一为实双曲流形）的事实。
• 使用有限叶覆盖构造一参数负曲率度量族，连接非双曲度量的拉回与实双曲度量。
• 应用光滑与拓扑伪同伦理论的结果，包括Igusa对伪同伦空间与稳定伪同伦空间的比较。
• 利用调和映射关于黎曼度量的连续依赖性（Sampson, Schoen-Yau, Eells-Lemaire），确保极限映射为调和映射。
• 使用双重加权积度量的截面曲率公式，验证所构造例子中曲率接近 -1 的夹紧性。
• 依赖Scharlemann的结果，将某些调和映射无法被同胚逼近与庞加莱猜想联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭合、负曲率黎曼流形之间的调和映射是否可以是细胞映射但非微分同胚？
• RQ2 调和映射是否可以是1参数微分同胚族的极限，但仍非微分同胚？
• RQ3 此类调和映射的存在性与三维庞加莱猜想之间有何关系？
• RQ4 当一个流形为实双曲流形，而另一个流形的曲率在 ε 内夹紧于 -1 时，此类调和映射是否仍可能存在？
• RQ5 在何种拓扑或几何条件下，调和映射无法被同胚逼近？

主要发现

• 对每个维度 m > 10，存在一个调和细胞映射 h: M₁ → M₂，其定义在闭合、负曲率的 m 维黎曼流形之间，且该映射非微分同胚。
• 定理1中的调和映射 h 可被微分同胚逼近，即其为光滑嵌入的极限。
• 可选择 M₁ 或 M₂ 为实双曲流形，而另一个流形的截面曲率可在任意 ε > 0 内夹紧于 -1。
• 该构造依赖于在有限叶覆盖上的一参数负曲率度量族，连接非双曲度量与实双曲度量。
• 该调和映射非光滑浸入，因其微分在某点处非单射。
• 在定理2的附录中，构造了一个调和映射 k: M → N，其同伦于微分同胚，但无法被同胚逼近，该结果与庞加莱猜想相关。