[论文解读] Cellular $\\mathbb A^1$-homology and the motivic version of Matsumoto's theorem

Fabien Morel, Anand Sawant|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文引入了细胞 $Ä^1$-同调，一种针对具有细胞结构的光滑概形的新可计算同调理论，用于计算任意域上分裂半单代数群的 $Ä^1$-基本群。利用该理论，本文建立了 motivic 版本的 Matsumoto 定理，表明分裂、半单、单连通代数群的 $Ä^1$-基本层同构于 Milnor $K$-理论 ${\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2$ 或 Milnor-Witt $K$-理论 ${\mathbf{K}}^\mathrm{MW}_2$，具体取决于类型，统一并推广了代数拓扑与代数 $K$-理论中的经典结果。

ABSTRACT

We define a new version of $\\mathbb A^1$-homology, called cellular $\\mathbb A^1$-homology, for smooth schemes over a field that admit an increasing filtration by open subschemes with cohomologically trivial closed strata. We provide several explicit computations of cellular $\\mathbb A^1$-homology and use them to determine the $\\mathbb A^1$-fundamental group of a split reductive group over an arbitrary field, thereby obtaining the motivic version of Matsumoto's theorem on universal central extensions of split, semisimple, simply connected algebraic groups. As applications, we uniformly explain and generalize results due to Brylinski-Deligne and Esnault-Kahn-Levine-Viehweg, determine the isomorphism classes of central extensions of such an algebraic group by an arbitrary strictly $\\mathbb A^1$-invariant sheaf and also reprove classical results of E. Cartan on homotopy groups of complex Lie groups.

研究动机与目标

• 定义一种新的、可计算的 $Ä^1$-同调版本——细胞 $Ä^1$-同调，适用于具有细胞滤子的光滑概形。
• 计算任意域上分裂半单代数群的 $Ä^1$-基本群层 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$。
• 建立分裂、半单、单连通代数群的 universal central extension 的 motivic 版本的 Matsumoto 定理。
• 统一并推广 Brylinski-Deligne 与 Esnault-Kahn-Levine-Viehweg 关于中心扩张的结果。
• 使用 motivic 方法重新证明 E. Cartan 关于复李群同伦群的经典结果。

提出的方法

• 将细胞 $Ä^1$-同调定义为与具有细胞结构的概形相关的细胞 $Ä^1$-链复形的同调。
• 利用 $Ä^1$-同伦纯度定理和完美域上 $Ä^1$-同伦层的结构来分析基本群。
• 从分裂、半单、单连通代数群的 Bruhat 分解构造细胞 $Ä^1$-链复形。
• 通过穿孔仿射空间及其悬垂的显式模型，计算细胞 $Ä^1$-链复形在低度的微分。
• 通过与复点的奇异同调比较，建立 $Ä^1$-基本层与 Milnor $K$-理论或 Milnor-Witt $K$-理论之间的同构。
• 使用 motivic 上同调中的谱序列与对偶性，验证低度上同调群的零性与秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意域 $k$ 上的分裂半单代数群 $G$，其 $Ä^1$-基本群层 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$ 是什么？
• RQ2 细胞 $Ä^1$-同调如何以推广经典结果的方式计算该基本群层？
• RQ3 在代数群背景下，Matsumoto 定理关于 universal central extension 的 motivic 类比是什么？
• RQ4 旗流形 $G/B$ 的细胞 $Ä^1$-同调如何与 $G$ 的 motivic 上同调相关？
• RQ5 能否使用 motivic 同伦理论重新推导 E. Cartan 关于 $Ï _3(G({\mathbb{C}}))$ 的经典结果？

主要发现

• 对于分裂半单代数群 $G$，其 $Ä^1$-基本群层 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$ 满足短正合列 $1 \to {\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G_{\rm sc}) \to {\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G) \to \mu \to 1$，其中 $\mu$ 是 universal cover 的核。
• 对于分裂、半单、单连通的几乎单代数群 $G$，其 $Ä^1$-基本群层同构于 ${\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2$（若 $G$ 不是典型辛型），或同构于 ${\mathbf{K}}^\mathrm{MW}_2$（若是典型辛型）。
• 在低度下，旗流形 $G/B$ 的细胞 $Ä^1$-同调被显式计算，其中度 2 微分的像由根系数据决定。
• 细胞 $Ä^1$-链复形的复点被证明计算了 $G({\mathbb{C}})$ 的奇异同调，且 $H^*(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2)$ 的谱序列在重编号后与 Serre 谱序列一致。
• $H^1(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2) \to H^1(G({\mathbb{C}});{\mathbb{Z}})$ 的态射是同构，且对所有 $i \geq 2$ 有 $H^i(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2) = 0$，确认了 Cartan 定理的 motivic 变体。
• 在度 3 的细胞 $Ä^1$-链复形的对偶中，其同调同构于 ${\mathbb{Z}}$，通过 motivic 方法证明了 $\pi_3(G({\mathbb{C}})) \cong {\mathbb{Z}}$。