[论文解读] Cellular Stratified Spaces I: Face Categories and Classifying Spaces

Dai Tamaki|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了柱状法向的细胞分层空间，并定义了一个面范畴 C(X)，其分类空间 BC(X) 自然地嵌入到 X 中。对于细胞复形，该嵌入是同胚，推广了重心剖分；当分层为局部多面体时，BC(X) 是 X 的形变收缩，为排列补集的 Salvetti 复形与 Morse 理论构造提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

The notion of cellular stratified spaces was introduced in a joint work of the author with Basabe, González, and Rudyak [1009.1851] with the aim of constructing a cellular model of the configuration space of a sphere. In particular, it was shown that the classifying space (order complex) of the face poset of a totally normal regular cellular stratified space $X$ can be embedded in $X$ as a strong deformation retract. Here we elaborate on this idea and develop the theory of cellular stratified spaces. We introduce the notion of cylindrically normal cellular stratified spaces and associate a topological category $C(X)$, called the face category, to such a stratified space $X$. We show that the classifying space $BC(X)$ of $C(X)$ can be naturally embedded into $X$. When $X$ is a cell complex, the embedding is a homeomorphism and we obtain an extension of the barycentric subdivision of regular cell complexes. Furthermore, when the cellular stratification on $X$ is locally polyhedral, we show that $BC(X)$ is a deformation retract of $X$. We discuss possible applications at the end of the paper. In particular, the results in this paper can be regarded as a common framework for the Salvetti complex for the complement of a complexified hyperplane arrangement and a version of Morse theory due to Cohen, Jones, and Segal.

研究动机与目标

• 发展细胞分层空间的系统理论，重点关注其拓扑结构。
• 为柱状法向的细胞分层空间定义面范畴 C(X)。
• 建立分类空间 BC(X) 到分层空间 X 的自然嵌入。
• 证明当 X 为细胞复形时，BC(X) 同胚于 X，推广了重心剖分。
• 证明当分层为局部多面体时，BC(X) 是 X 的形变收缩，统一了排列补集与 Morse 理论中的构造。

提出的方法

• 引入柱状法向的细胞分层空间概念，以确保局部结构的良好行为。
• 将面范畴 C(X) 构造为一个对象为胞腔、态射编码面关系的拓扑范畴。
• 将分类空间 BC(X) 定义为 C(X) 的神经复形的几何实现。
• 利用分层的法向结构，建立 BC(X) 到 X 的自然连续嵌入。
• 利用局部多面体条件，通过同伦构造证明该嵌入为形变收缩。
• 将该框架应用于解释已知构造，如 Salvetti 复形与 Cohen-Jones-Segal 的 Morse 理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为细胞分层空间自然地关联一个面范畴，以捕捉其组合与拓扑结构？
• RQ2 在何种条件下，面范畴的分类空间 BC(X) 可嵌入于分层空间 X 中？
• RQ3 在何种情况下该嵌入为同胚？其如何推广重心剖分？
• RQ4 在何种结构条件下，BC(X) 是 X 的形变收缩？分层的何种结构条件可保证这一点？
• RQ5 该框架能否统一已有的构造，如 Salvetti 复形与 Morse 理论模型？

主要发现

• 面范畴 C(X) 的分类空间 BC(X) 自然地嵌入于细胞分层空间 X 中。
• 当 X 为细胞复形时，嵌入 BC(X) → X 为同胚，推广了经典的重心剖分。
• 对于局部多面体的细胞分层，BC(X) 是 X 的强形变收缩。
• 该构造提供了一个统一框架，包含复化超平面排列补集的 Salvetti 复形。
• 该结果在单一范畴与几何设定下，推广并统一了 Cohen、Jones 与 Segal 的 Morse 理论的若干方面。