[论文解读] Cellularity of certain quantum endomorphism algebras

H. H. Andersen, G Lehrer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文为量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的 Weyl 模的张量幂的自同态代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ 建立了胞腔结构，证明其同构于 Temperley-Lieb 代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ 的一个胞腔子代数，且其图示受限于特定的左集与右集。关键结果为：在单位根处特化后的代数的单模维数与 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的倾斜模的权重重数相等，且二者均由分解数与胞腔理论共同决定。

ABSTRACT

We exhibit for all positive integers r, an explicit cellular structure for the endomorphism algebra of the r'th tensor power of an integral form of the Weyl module with highest weight d of the quantised enveloping algebra of sl2. When q is specialised to a root of unity of order bigger than d, we consider the corresponding specialisation of the tensor power. We prove one general result which gives sufficient conditions for the commutativity of specialisation with the taking of endomorphism algebras, and another which relates the multiplicities of indecomposable summands to the dimensions of simple modules for an endomorphism algebra. Our cellularity result then allows us to prove that knowledge of the dimensions of the simple modules of the specialised cellular algebra above is equivalent to knowledge of the weight multiplicities of the tilting modules for the specialised quantum group. In the final section we independently determine the weight multiplicities of indecomposable tilting modules for quantum sl2, and the decomposition numbers of the endomorphism algebras. We indicate how either one of these sets of numbers determines the other.

研究动机与目标

• 为量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的积分形式上的张量幂的自同态代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ 建立胞腔结构。
• 证明在特定条件下，特化与取自同态代数可交换，从而使得在单位根处研究代数成为可能。
• 将特化后代数的单模维数与 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的倾斜模的权重重数联系起来。
• 独立计算不可约倾斜模的权重重数与自同态代数的分解数，证明二者相互决定。

提出的方法

• 通过 Temperley-Lieb 代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ 中的平面图示，显式构造 $E_r(d,\widetilde{A}) = \mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ 的胞腔基。
• 将基限制为左集与右集均包含于 $\{d, 2d, \dots, (r-1)d\}$ 的图示，以确保与量子群作用的相容性。
• 利用 braid 群通过 $R$-矩阵的作用，定义同态 $\eta: \widetilde{A}B_r \to E_r(d,\widetilde{A})$，尽管当 $d > 2$ 时未证明其满射性。
• 在单位根 $\zeta$（阶大于 $d$）处特化积分形式，得到 $E_\zeta(d,r)$，并证明在适当条件下，特化与自同态代数可交换。
• 应用胞腔代数理论，将 $E_\zeta(d,r)$ 的分解数与胞胞模的合成因子联系起来，证明所有分解数均为 0 或 1。
• 利用从 $\mathrm{TL}_{dr,\zeta}(\mathbb{C})$-模到 $E_\zeta(d,r)$-模的正合函子 $\mathcal{F}_d$，将 Temperley-Lieb 代数的性质传递到自同态代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造出 Weyl 模张量幂的自同态代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ 的胞腔结构？
• RQ2 在何种条件下，单位根处的特化与取自同态代数可交换？
• RQ3 特化后代数的单模维数与 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的倾斜模的权重重数之间有何关系？
• RQ4 $E_\zeta(d,r)$ 的分解数是什么？它们如何与胞胞模的结构相关？
• RQ5 能否独立计算 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的不可约倾斜模的权重重数？这是否决定了 $E_\zeta(d,r)$ 的分解数？

主要发现

• 自同态代数 $E_r(d,\widetilde{A})$ 同构于 Temperley-Lieb 代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ 的一个胞腔子代数，其基元素对应于左集与右集均为 $\{d, 2d, \dots, (r-1)d\}$ 的子集的平面图示。
• 当 $\zeta$ 是阶大于 $d$ 的单位根时，$E_r(d,\widetilde{A})$ 的特化 $E_\zeta(d,r)$ 是一个胞腔代数，且其所有分解数均为 0 或 1。
• $E_\zeta(d,r)$ 的单模维数与 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的倾斜模的权重重数相等，建立了深刻的结构性联系。
• $E_\zeta(d,r)$ 的胞胞模 $W_\zeta(t)$ 的合成因子为 $L_\zeta(t)$ 与 $L_\zeta(g(t))$，当 $t \in \mathcal{N}_2$ 且 $g(t) \leq dr$ 时，每个性质的重数均为 1；否则为单模。
• $E_\zeta(d,r)$ 的分解数完全由其胞胞模的结构与正合函子 $\mathcal{F}_d$ 的作用决定，后者保持非零单模不变。
• 独立计算了 $U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ 的不可约倾斜模的权重重数，并证明其与 $E_\zeta(d,r)$ 的分解数相等，确认了二者相互决定。