[论文解读] Central Extension of the Yangian Double

S. Khoroshkin|ArXiv.org|Feb 21, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 38

一句话总结

本文为单李代数 $\mathfrak{g}$ 的杨-巴克斯特代数 $Y(\mathfrak{g})$ 的量子双代数 $\widehat{DY}(\mathfrak{g})$ 构造了一个中心扩张，对 $\mathfrak{g}=sl_2$ 给出了完整证明。文中引入了德林生成元，推导了普遍 $R$-矩阵，并以玻色化形式构造了基本的无穷维表示，从而实现了类似于量子仿射代数的更丰富的表示理论。

ABSTRACT

Central extension $\DYg$ of the Double of the Yangian is defined for a simple Lie algebra ${\bf g}$ with complete proof for ${\bf g} =sl_2$. Basic representations and intertwining operators are constructed for $\DY2$.

研究动机与目标

• 为解决杨-巴克斯特代数 $Y(\mathfrak{g})$ 中缺乏非平凡无穷维表示的问题，通过引入中心荷来扩展其量子双代数。
• 为扩展杨-巴克斯特代数的双代数构造一个拟三角 Hopf 代数结构，克服原始杨-巴克斯特代数的伪拟三角性质。
• 将量子仿射代数中通过中心荷实现无穷维表示的表示理论框架推广至杨-巴克斯特代数的语境。
• 为 $\widehat{DY}(sl_2)$ 提供完整的构造，包括德林生成元、余乘法法则和普遍 $R$-矩阵，并对一般 $\mathfrak{g}$ 做部分推广。

提出的方法

• 将中心扩张 $\widehat{DY}(\mathfrak{g})$ 定义为 $\widehat{Y}^+(\mathfrak{g}) \cong Y(\mathfrak{g}) \otimes \mathbb{C}[c]$ 的双代数，其中 $c$ 是与导子 $d$ 对偶的中心元素。
• 采用德林的当前代数方法，通过增加一个导子 $d$ 或谱参数的自同态来扩展 $Y(\mathfrak{g})$，从而获得 Hopf 代数结构。
• 通过在 $DY(sl_2)$ 的 $R$-矩阵中引入谱参数 $c\hbar$ 的平移，类似 Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan 方法，构造 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的普遍 $R$-矩阵。
• 通过在标准 $Y(sl_2)$ 余乘法中加入含 $c$ 的项，利用 Molev 的公式和移位自同态，推导 $\widehat{Y}^+(sl_2)$ 的余乘法法则。
• 对 $L$-算子进行高斯分解，提取德林生成元，并将代数结构转化为 $L$-算子语言。
• 通过顶点算子实现和 Hopf 代数结构，以玻色化形式构造 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的基本表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何扩展杨-巴克斯特代数的量子双代数 $DY(\mathfrak{g})$ 以引入中心荷，从而实现无穷维表示？
• RQ2 中心扩张 $\widehat{DY}(\mathfrak{g})$ 的正确代数结构是什么？它与原始杨-巴克斯特代数及其双代数有何关系？
• RQ3 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的普遍 $R$-矩阵与 $DY(sl_2)$ 的 $R$-矩阵有何不同？其显式形式是什么？
• RQ4 是否可以以类似于量子仿射代数的方式发展 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的表示理论，特别是通过玻色化？
• RQ5 $\widehat{Y}^+(\mathfrak{g})$ 的余乘法法则为何？它们如何推广标准杨-巴克斯特代数的余乘法？

主要发现

• 中心扩张 $\widehat{DY}(sl_2)$ 被构造为 $\widehat{Y}^+(sl_2) \cong Y(sl_2) \otimes \mathbb{C}[c]$ 的双代数，对 $sl_2$ 提供了完整证明。
• 通过在 $DY(sl_2)$ 的 $R$-矩阵中将谱参数平移 $c\hbar$，获得了 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的普遍 $R$-矩阵，保持了拟三角结构。
• $\widehat{Y}^+(sl_2)$ 中的余乘法由标准 $Y(sl_2)$ 余乘法修改而成，包含含 $c$ 的项，例如 $\Delta(e_{i1}) = e_{i1} \otimes 1 + 1 \otimes e_{i1} + \hbar(h_{i0} - c) \otimes e_{i0} - \hbar \sum_{\gamma \in \Delta_+} f_\gamma \otimes [e_{\alpha_i}, e_\gamma]$，$f_{i1}$ 和 $h_{i1}$ 的情况类似。
• 通过顶点算子实现和扩展的代数结构，以玻色化形式构造了 $\widehat{DY}(sl_2)$ 的基本无穷维表示。
• 对一般 $\mathfrak{g}$，$\widehat{DY}(\mathfrak{g})$ 的结构通过 $\widehat{Y}^+(\mathfrak{g})$ 的双代数描述，余乘法法则和 Hopf 配对部分指定，但完整证明留待未来工作。
• 对于 $\widehat{DY}(\mathfrak{g})$ 的 Hopf 配对，满足 $<e_i^+(u), f_j^-(v)> = \delta_{ij}/(\hbar(u-v))$，$<h_i^+(u), h_j^-(v)> = \frac{u-v + \hbar b_{ij}}{u-v - \hbar b_{ij}}$，以及 $<c, d> = 1/\hbar$，与扩展结构一致。