[论文解读] Central limit theorem for a critical multi-type branching process in random environment

Émile Le Page, Marc Peigné+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文在随机环境中建立了关键多类型分支过程中种群规模对数的中心极限定理。通过使用鞅技巧和随机游走的波动理论分析条件过程，证明了归一化的对数种群规模依分布收敛于正态分布，将单类型情形下的经典结果扩展至关键性与不可约性假设下的多类型情形。

ABSTRACT

Let (Z n) n$\ge$0 with Z n = (Z n (i, j)) 1$\le$i,j$\le$p be a p multi-type critical branching process in random environment, and let M n be the expectation of Z n given a fixed environment. We prove theorems on convergence in distribution of sequences of branching processes Zn |Mn| /|Z n | > 0 and ln Zn $\sqrt$ n /|Z n | > 0. These theorems extend similar results for single-type critical branching process in random environment.

研究动机与目标

• 将单类型关键分支过程在随机环境中的经典中心极限定理推广至多类型情形。
• 分析在随机环境波动下，多类型分支过程中种群规模对数在非灭绝条件下的渐近行为。
• 利用随机矩阵理论和相关马尔可夫链的波动性质，建立归一化对数种群规模的依分布收敛性。
• 通过考虑多种粒子类型在随机环境影响下的联合演化，将单类型过程的结果推广至多类型过程。
• 证明在关键性与不可约性条件下，对数种群规模的极限分布经适当归一化后收敛于正态分布。

提出的方法

• 采用随机环境中多类型Galton-Watson过程，其中后代分布由独立同分布的随机矩阵控制，表示各类型间的期望种群规模。
• 应用鞅方法分析给定非灭绝条件下的过程条件分布，重点关注总种群规模的对数。
• 运用随机游走的波动理论与随机矩阵乘积理论，刻画期望种群规模路径的渐近行为。
• 引入对时间n之前非灭绝的条件，并通过归一化过程收敛至布朗桥型极限的耦合论证。
• 应用脊干分解与大小偏置耦合技术，将分支过程的行为与由随机矩阵驱动的R^p上马尔可夫链联系起来。
• 通过证明对数种群规模与其条件均值之差在概率上收敛于零，实现对Slutsky引理的应用，从而证明归一化对数种群规模收敛于正态分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机环境中的关键多类型分支过程中，总种群规模的对数是否满足中心极限定理？
• RQ2 对数种群规模的极限分布与条件均值路径的关联随机游走的极限分布有何比较？
• RQ3 在随机环境的一般矩条件与不可约性条件下，是否可建立归一化对数种群规模的依分布收敛性？
• RQ4 Lyapunov指数与随机矩阵的射影作用在决定过程渐近行为中起什么作用？
• RQ5 单类型关键分支过程在随机环境中的结果在多大程度上可推广至多类型情形？

主要发现

• 在非灭绝条件下，归一化的对数种群规模依分布收敛于均值为零、方差为σ²的正态分布，其中σ为极限布朗运动的扩散系数。
• 在时间n之前非灭绝的概率渐近等价于c / √n，其中c为某显式正数，将单类型结果推广至多类型情形。
• 归一化对数种群规模的极限分布与关联的条件为正的随机游走的极限分布相同，确认了普遍性原理。
• 在一般矩条件与随机矩阵射影作用不可约性下，收敛性成立，确保过程不会退化为单一类型。
• 对数种群规模与其条件期望之差，经√n归一化后，在概率上收敛于零，为最终步骤中应用Slutsky引理提供了依据。
• 关键技术结果为：将存活概率乘以√n后收敛于一个涉及不变测度与极限布朗运动方差的常数。