[论文解读] Central Limit Theorem for empirical transportation cost in general dimension

Eustasio del Barrio, Jean–Michel Loubes|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在一般维度 $d \geq 1$ 下，针对二次成本，建立了经验运输成本的函数中心极限定理（CLT），表明经验运输成本与其期望之间的归一化偏差弱收敛于高斯分布。在底层测度的矩和光滑性条件较弱的前提下，极限方差通过最优运输势能显式表征。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal transportation with quadratic cost between a empirical measure and a general target probability on R d , with d $\ge$ 1. We provide new results on the uniqueness and stability of the associated optimal transportation potentials , namely, the minimizers in the dual formulation of the optimal transportation problem. As a consequence, we show that a CLT holds for the empirical transportation cost under mild moment and smoothness requirements. The limiting distributions are Gaussian and admit a simple description in terms of the optimal transportation potentials.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^d$ 上，针对经验测度与目标概率测度之间的经验运输成本，建立中心极限定理（CLT），成本为二次型。
• 以最优运输势能的形式表征归一化运输成本的极限高斯分布。
• 在最小假设下提供方差界并建立渐近正态性，包括目标测度的有限矩和光滑性。
• 将CLT推广至两个经验测度的情形，即 $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q_m)$，其中 $P$ 和 $Q$ 的样本相互独立。
• 通过提供运输成本的分布极限，填补了统计应用中的关键空白，此前一般测度的分布极限尚不可用。

提出的方法

• 利用最优运输问题的对偶形式，将最优运输势能定义为对偶目标函数的极小化器，并对其进行分析。
• 应用Efron-Stein不等式，推导经验运输成本的方差界，确保经验测度扰动下的稳定性。
• 围绕真实最优势能 $z_0$ 采用线性化方法，通过delta方法证明 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ 弱收敛于高斯随机变量。
• 利用经验势能 $z_n$ 几乎必然收敛于真实势能 $z_0$ 的性质，证明归一化成本差的渐近正态性。
• 将极限方差表征为 $\sigma^2(P,Q) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})\right)$，其中 $U$ 为具有由多项分布频率导出协方差矩阵的中心高斯向量。
• 在包括 $Q$ 的 $L^{4+\delta}$ 可积性在内的温和矩条件下，建立经验成本收敛于理论成本的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^d$ 中，对于一般测度 $P$ 和 $Q$，经验运输成本 $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)$ 是否满足中心极限定理？
• RQ2 当 $P$ 和 $Q$ 为一般概率测度时，$\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ 的极限分布是什么？
• RQ3 运输成本的极限方差能否以最优运输势能的形式显式表征？
• RQ4 当 $P = Q$ 时，经验成本的渐近行为如何变化？此时 $\sqrt{n}$ 速率下的CLT是否仍然成立？
• RQ5 在一般维度 $d \geq 1$ 下，经验运输成本的CLT在何种矩和光滑性条件下成立？

主要发现

• 对于 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$，中心极限定理成立，极限分布为高斯分布。
• 极限高斯分布的均值为零，方差为 $\sigma^2(P,Q)$，其显式表征为由经验频率导出的高斯向量的线性泛函的方差。
• 弱收敛关系 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q)) \to \sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})$ 成立，其中 $U$ 为具有协方差矩阵 $\Sigma$ 的中心高斯向量。
• 在 $Q$ 的 $L^{4+\delta}$ 可积性条件下，经验运输成本的方差满足 $n \cdot \text{Var}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)) \to \sigma^2(P,Q)$。
• 一般情况下，不能将 $\mathcal{W}_2^2(P,Q)$ 作为 $\mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]$ 的替代中心化常数用于CLT，尤其在 $P = Q$ 时，因高维中衰减速率为 $n^{-2/d}$，故不适用。
• 当 $P = Q$ 且 $d \geq 5$ 时，$\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]) \to 0$ 几乎必然成立，表明此情形下 $\sqrt{n}$ 速率退化，提示可能需要不同的缩放以获得非退化的极限。