[论文解读] Central Limit Theorems for General Transportation Costs

Eustasio del Barrio, Alberto González-Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Point processes and geometric inequalities参考文献 37被引用 12

一句话总结

本文在最小矩和正则性假设下，建立了 $ \mathbb{R}^d$ 上经验测度与一般目标分布之间最优传输成本的中心极限定理（CLTs）。通过使用 Efron-Stein 不等式和 $ L_2(\mathbb{P}) $ 中的弱紧致性，本文以一种新方法证明了传输成本的渐近正态性，该方法将先前结果推广至一般严格凸成本函数和任意维度。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal transportation with general cost between a empirical measure and a general target probability on R d , with d $\ge$ 1. We extend results in [19] and prove asymptotic stability of both optimal transport maps and potentials for a large class of costs in R d. We derive a central limit theorem (CLT) towards a Gaussian distribution for the empirical transportation cost under minimal assumptions, with a new proof based on the Efron-Stein inequality and on the sequential compactness of the closed unit ball in L 2 (P) for the weak topology. We provide also CLTs for empirical Wassertsein distances in the special case of potential costs | $\bullet$ | p , p > 1.

研究动机与目标

• 建立 $ \mathbb{R}^d$ 上经验测度与一般目标概率测度之间最优传输成本的中心极限定理。
• 将先前针对 $ p $-Wasserstein 距离的 CLT 结果推广至一般严格凸成本函数。
• 在底层测度的最小矩和正则性条件下，证明传输成本的渐近正态性。
• 提出一种基于 Efron-Stein 不等式和 $ L_2(\mathbb{P}) $ 中序列紧致性的新颖证明策略。
• 确保在高维下，一般成本函数下最优传输映射和势函数的稳定性。

提出的方法

• 利用 Efron-Stein 不等式控制方差，推导经验传输成本 $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ 的中心极限定理。
• 利用 $ L_2(\mathbb{P}) $ 中闭单位球在弱拓扑下的序列紧致性，建立收敛性。
• 通过凸性和次微分估计分析最优传输映射和势函数的稳定性。
• 利用可交换性和 Hölder 不等式，界定单个样本对成本的影响。
• 应用 Monge 与 Kantorovich 公式之间的对偶性，刻画最优计划和映射。
• 依赖于成本函数 $ c $ 的假设 (A1)–(A3)，包括严格凸性和共轭函数 $ h $ 的增长条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小矩和正则性假设下，经验传输成本 $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ 是否满足中心极限定理？
• RQ2 能否证明 $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ 的渐近分布对于一般严格凸成本为高斯分布？
• RQ3 Efron-Stein 不等式在证明传输成本 CLT 中起到什么作用？
• RQ4 为何 $ L_2(\mathbb{P}) $ 中单位球的弱紧致性支持渐近正态性的证明？
• RQ5 在何种条件下，最优传输映射和势函数在经验测度扰动下保持稳定？

主要发现

• 本文在 $ P $ 和 $ Q $ 的最小假设下，建立了 $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ 的中心极限定理，其极限分布为高斯分布。
• 基于 Efron-Stein 不等式和 $ L_2(\mathbb{P}) $ 中弱紧致性的证明方法，为最优传输中的 CLT 提供了一种新颖且稳健的途径。
• 在 $\mathbb{R}^d$ 中，对一大类一般成本函数，证明了最优传输映射和势函数的稳定性。
• 极限分布为高斯分布，证实了在一般严格凸成本下，传输成本的渐近正态性。
• 该结果将先前针对 $ p=2 $ 和单变量情形的 CLT 结果推广至一般维度和严格凸成本。
• 分析表明，成本的严格凸性是获得非退化高斯极限分布的最小要求。