[论文解读] Central Limit Theorems for Non-Invertible Measure Preserving Maps

Michael C. Mackey, Marta Tyran‐Kamińska|ArXiv.org|Aug 25, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文在不假设遍历性的情况下，针对非可逆保测度映射建立了功能性中心极限定理，利用Perron-Frobenius算子分析Birkhoff和收敛到缩放布朗运动的过程。关键贡献是一个新充分条件，涉及迭代转移算子的 $ L^2 $-范数衰减，该条件将先前结果推广至非遍历情形，并给出了极限方差的级数展开式。

ABSTRACT

We establish a new functional central limit theorem result for non-invertible measure preserving maps that are not necessarily ergodic, using the Perron-Frobenius operator. We apply the result to asymptotically periodic transformations and give an extensive specific example of asymptotically periodic transformations by using the tent map.

研究动机与目标

• 将功能性中心极限定理推广至非可逆、非遍历的保测变换。
• 在Skorohod空间中，建立Birkhoff和弱收敛到缩放布朗运动的充分条件。
• 以转移算子和不变 $ \sigma $-代数 $ \mathcal{I} $ 表示极限方差 $ \eta = \mathbb{E}_\nu(\tilde{h}^2 \mid \mathcal{I}) $ 的级数展开式。
• 将结果应用于渐近周期系统，包括帐篷映射，作为具体实例。

提出的方法

• 分析使用Perron-Frobenius算子 $ \mathcal{P}_T $ 研究和 $ \sum_{k=0}^{n-1} \mathcal{P}_T^k h $ 的 $ L^2 $-范数衰减。
• 提出一个新充分条件：$ \sum_{n=1}^\infty n^{-3/2} \left\| \sum_{k=0}^{n-1} \mathcal{P}_T^k h \right\|_2 < \infty $，确保弱收敛到 $ \sqrt{\eta} w $。
• 极限方差 $ \eta $ 被表征为 $ \mathbb{E}_\nu(\tilde{h}^2 \mid \mathcal{I}) $，其中 $ \tilde{h} $ 满足 $ \mathcal{P}_T \tilde{h} = 0 $ 且 $ \left\| \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=0}^{n-1} (h - \tilde{h}) \circ T^j \right\|_2 \to 0 $。
• 通过二进制分解推导出 $ \eta $ 的级数展开式：$ \eta = \mathbb{E}_\nu(h^2 \mid \mathcal{I}) + \sum_{j=0}^\infty \frac{\mathbb{E}_\nu(S_{2^j} S_{2^j} \circ T^{2^j} \mid \mathcal{I})}{2^j} $。
• 证明依赖于极大不等式和 $ L^2 $-有界性技术，受Peligrad和Utev的启发，利用条件期望和压缩性质控制级数收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非可逆、非遍历的保测度映射下函数的Birkhoff和会弱收敛到缩放布朗运动？
• RQ2 极限方差 $ \eta $ 如何显式地用转移算子和不变 $ \sigma $-代数 $ \mathcal{I} $ 表示？
• RQ3 功能性中心极限定理能否超越遍历情形，特别是推广至渐近周期系统？
• RQ4 Perron-Frobenius算子在非遍历设定下表征收敛速度和方差方面起什么作用？

主要发现

• 在条件 $ \sum_{n=1}^\infty n^{-3/2} \left\| \sum_{k=0}^{n-1} \mathcal{P}_T^k h \right\|_2 < \infty $ 下，功能性中心极限定理成立，该条件将早期结果推广至非遍历映射。
• 极限过程为 $ \sqrt{\eta} w $，其中 $ \eta = \mathbb{E}_\nu(\tilde{h}^2 \mid \mathcal{I}) $，且 $ \tilde{h} $ 是满足 $ \mathcal{P}_T \tilde{h} = 0 $ 的 $ L^2 $ 函数，使得差值 $ h - \tilde{h} $ 在平均后于 $ L^2 $-范数下趋于零。
• 对于遍历映射，$ \eta $ 退化为常数 $ \|h\|_2^2 $，从而恢复经典功能性中心极限定理。
• 推导出 $ \eta $ 的级数展开式：$ \eta = \mathbb{E}_\nu(h^2 \mid \mathcal{I}) + \sum_{j=0}^\infty \frac{\mathbb{E}_\nu(S_{2^j} S_{2^j} \circ T^{2^j} \mid \mathcal{I})}{2^j} $，在条件 $ \sum_{j=0}^\infty 2^{-j/2} \left\| \sum_{k=1}^{2^j} \mathcal{P}_T^k h \right\|_2 < \infty $ 下收敛。
• 该结果适用于渐近周期变换，帐篷映射被用作详细实例，其中条件得到验证。