[论文解读] Central measures on multiplicative graphs, representations of Lie algebras and weight polytopes

Cédric Lecouvey, Pierre Tarrago|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过 Littelmann 路径模型，显式构造了与单李代数有限维表示相关的乘法图上中心测度与表示权多面体之间的同胚。该构造不依赖于 K-理论或 C*-代数方法，而是基于随机 Littelmann 路径的漂移参数对中心测度进行参数化，从而实现了对调和函数与 c-调和函数的完整刻画，并建立了条件随机游动的大数定律。

ABSTRACT

To each finite-dimensional representation of a simple Lie algebra is associated a multiplicative graph in the sense of Kerov and Vershik definedfrom the decomposition of its tensor powers into irreducible components. The conditioning of naturalrandom Littelmann paths to stay in their corresponding Weyl chamber is thencontrolled by central measures on this type of graphs. Using the K-theory of associated C*-algebras, Handelman established a homeomorphism between the set of central measures on these multiplicative graphs and the weight polytope of theunderlying representation. In the present paper, we make explicit this homeomorphism independently of Handelman's results by using Littelmann's path model. As a by-product we also get an explicit parametrization of theweight polytope in terms of drifts of random Littelmann paths. This explicit parametrization yields a complete description of harmonic and c-harmonic functions for this Littelmann paths model.

研究动机与目标

• 提供一种显式、表示论意义上的构造，将乘法图上的中心测度与权多面体之间的同胚关系显式建立，且不依赖于 K-理论与 C*-代数方法。
• 通过 Littelmann 路径的漂移参数，刻画无限路径在 Weyl 单体与全空间中中心测度的最小边界。
• 对 Littelmann 路径模型在乘法图上的调和函数与 c-调和函数给出完整描述。
• 建立在中心测度下随机游动的大数定律，将路径漂移与多面体几何联系起来。
• 将 Kerov-Vershik 框架从 sl_n 的定义表示推广至任意单李代数的任意极大权。

提出的方法

• 使用 Littelmann 的路径模型，通过表示权集中路径的连接，在权格上定义随机游动。
• 通过为单根分配实数漂移参数，对中心测度进行参数化，参数域限定在由 δ-可接受的单根子集定义的集合 [0,1]_δ^d 内。
• 在增长图上的极小调和函数与从特征代数到 R 的代数同态之间建立双射，且该同态在基上非负。
• 应用 Weyl 特征与生成函数，表达路径的总权重，并推导漂移参数化。
• 使用生成函数 S_{x,nδ}(t) 并通过 s_δ(t) 进行归一化，以定义测度及其对漂移的依赖性。
• 通过路径终点位置收敛于漂移向量的性质，证明大数定律，利用 s_δ(t) 严格凸且在 t=1 处取最小值的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖 C*-代数 K-理论的前提下，显式构造乘法图上中心测度与权多面体之间的同胚关系？
• RQ2 中心测度在随机 Littelmann 路径漂移下的精确参数化是什么？
• RQ3 调和函数与 c-调和函数在路径模型中如何通过漂移参数刻画？
• RQ4 在中心测度下条件随机游动的极限行为是什么？其与权多面体有何关系？
• RQ5 此类游动的大数定律是否可从路径模型与特征理论推导得出？

主要发现

• 在 Weyl 单体 Δ 中无限路径上中心测度的最小边界，被显式参数化为集合 [0,1]_δ^d，其对应于 δ-可接受的单根子集。
• 通过漂移向量 t ∈ [0,1]_δ^d，显式构造了全空间上中心测度与权多面体 K(δ) 之间的同胚。
• c-调和测度的集合被识别为函数 s_δ(t) = cZ 的水平集，其中 Z = dim V(δ)，且该集合仅在 c ≥ 1 时非空。
• 大数定律成立：几乎必然地，中心测度下随机路径的终点位置收敛于按路径长度缩放的漂移向量。
• 函数 s_δ(t) 在 R^d 上严格凸，且在 t=1 处取唯一最小值，且 s_δ(1) = Z = dim V(δ)，这意味着漂移函数的最小值在均匀漂移时达到。
• 任意 c-调和测度的支集包含于水平集 {t ∈ [0,1]_δ^d | s_δ(t) = cZ} 中，且该集合恰好是 c-调和测度的最小边界。