[论文解读] Central values of additive twists of cuspidal $L$-functions

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文建立了与偶权 $k \geq 4$ 的全纯尖点形式相关的 $L$-函数的加法扭曲中心值的渐近正态分布，推广了 Petridis 和 Risager 关于模符号的结果。证明了归一化中心值 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$ 在 $X \to \infty$ 时依分布收敛于标准复正态分布，其中方差 $C_f$ 依赖于 Petersson 范数与 $\Gamma_0(q)$ 的双曲体积。该结果使得对具有平凡字符积的狄利克雷扭曲广大家族中 $L(f \otimes \chi, 1/2)$ 的中心值平均值的渐近公式成为可能。

ABSTRACT

Additive twists are important invariants associated to holomorphic cusp forms; they encode the Eichler--Shimura isomorphism and contain information about automorphic $L$-functions. In this paper we prove that central values of additive twists of the $L$-function associated to a holomorphic cusp form $f$ of even weight $k$ are asymptotically normally distributed. This generalizes (to $k\geq 4$) a recent breakthrough of Petridis and Risager concerning the arithmetic distribution of modular symbols. Furthermore we give as an application an asymptotic formula for the averages of certain 'wide' families of automorphic $L$-functions, consisting of central values of the form $L(f\otimes χ,1/2)$ with $χ$ a Dirichlet character.

研究动机与目标

• 建立与偶权 $k \geq 4$ 的全纯尖点形式相关的 $L$-函数的加法扭曲中心值的渐近正态分布，推广先前关于模符号的结果。
• 通过加法扭曲，将 Petridis 和 Risager 关于模符号的工作推广至更高权尖点形式。
• 推导在具有平凡字符积的狄利克雷特征家族上，中心值 $L(f \otimes \chi, 1/2)$ 平均值的渐近公式。
• 提供 Mazur 和 Rubin 所定义的方差斜率 $C_f$ 的更高权类比，将其与尖点形式 $f$ 的 Petersson 范数及双曲体积联系起来。

提出的方法

• 对 $r \in \mathbb{Q}$ 定义加法扭曲 $L(f,r,s) = \sum_{n \geq 1} \frac{a_f(n) e(nr)}{n^s}$，其在 $\operatorname{Re}(s) > (k+1)/2$ 时绝对收敛，并具有亚纯延拓。
• 按扭曲参数 $a/c \in \mathbb{Q}$ 的分母 $c$ 对加法扭曲排序，其中 $0 < a < c \leq X$，$(a,c) = 1$，$q \mid c$，形成样本空间 $T(X)$。
• 通过 $(C_f \log c)^{1/2}$ 对中心值 $L(f,a/c,k/2)$ 进行归一化，其中 $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$，以研究其极限分布。
• 利用谱理论与 Eichler–Shimura 同构，将加法扭曲与上同调不变量及模符号联系起来。
• 应用 Birch–Stevens 公式（引理 6.1）将加法扭曲表示为 $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$ 的形式，从而实现对狄利克雷特征下中心值的平均。
• 利用狄利克雷特征的正交性及 $L$-函数的函数方程，推导出对 $\chi \mod c$ 的平均值的渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按扭曲参数的分母排序时，与偶权 $k \geq 4$ 的全纯尖点形式相关的 $L$-函数的加法扭曲中心值是否渐近服从正态分布？
• RQ2 能否通过加法扭曲将模符号的渐近正态分布（此前仅知在权 2 时成立）推广至更高权尖点形式？
• RQ3 在具有平凡字符积的广大家族狄利克雷特征下，$L(f \otimes \chi, 1/2)$ 的平均值的渐近行为如何？
• RQ4 归一化中的方差 $C_f$ 与尖点形式 $f$ 的算术不变量之间有何关系？

主要发现

• 当 $X \to \infty$ 时，归一化中心值 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$ 依分布渐近服从标准复正态分布 $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,1)$，误差为 $o(1)$。
• 方差参数 $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$ 与 $f$ 嵌入 $\mathcal{S}_k(\Gamma_0(q))$ 的方式无关，且推广了 Mazur 和 Rubin 所定义的方差斜率。
• 在 $c \leq X$ 且 $(q,c) = 1$ 时，对所有模 $c$ 特征 $\chi$ 求和，$L(f \otimes \chi, 1/2)$ 的平均值满足渐近公式：$\sum_{c \leq X, (q,c)=1} \frac{1}{\varphi(c)} \sum_{\chi \mod c} |\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))|^2 |L(f \otimes \chi^*, 1/2)|^2 = \frac{q(4\pi)^k \|f\|^2}{\pi(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))^2} (\log X) X^2 + \beta_{f,1} X^2 + O_\varepsilon(X^{4/3+\varepsilon})$。
• 该结果将 Birch–Stevens 公式推广至非本原特征，通过系数 $\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))$ 将加法扭曲表示为 $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$ 的线性组合。
• 对于尖点形式正交基，加法扭曲的联合分布也渐近服从多变量正态分布，如定理 5.1 的一般版本所示。