[论文解读] Centralizers of C^1-generic diffeomorphisms

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+1 more|ArXiv.org|Oct 2, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 6

一句话总结

该论文证明了在维度至少为2的紧致流形上，$C^1$-拟然的辛同胚和体积守恒微分同胚具有平凡中心化子，即它们不具有非平凡的光滑对称性。通过在$C^1$拓扑下使用剩余集，并分析双曲周期点的动力学，作者证明了对于此类微分同胚的一个剩余子集，任何与之交换的微分同胚必须是原映射的幂，从而证实了光滑动力系统中长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

On the one hand, we prove that the spaces of C^1 symplectomorphisms and of C^1 volume-preserving diffeomorphisms both contain residual subsets of diffeomorphisms whose centralizers are trivial. On the other hand, we show that the space of C^1 diffeomorphisms of the circle and a non-empty open set of C^1 diffeomorphisms of the two-sphere contain dense subsets of diffeomorphisms whose centralizer has a sub-group isomorphic to R.

研究动机与目标

• 解决斯梅尔关于$C^1$辛同胚和体积守恒微分同胚中平凡中心化子的拟然性问题。
• 建立这些类中平凡中心化子在$C^1$拓扑下为剩余集的结论。
• 通过分析与周期点交换的微分同胚在双曲周期点附近的动力学，推导出中心化子的平凡性。
• 证明对于$S^1$和$S^2$上的$C^1$-拟然微分同胚，中心化子要么平凡，要么同构于$\mathbb{R}$，具体取决于流形的性质。

提出的方法

• 在$\text{Diff}^1(M)$、$\text{Symp}^1(M)$和$\text{Diff}^1_\mu(M)$中分别构造剩余集$\mathcal{R}$、$\mathcal{R}_{\text{symp}}$和$\mathcal{R}_{\mu}$，使用贝尔范畴论证。
• 证明对于这些剩余集中的$f$，任何与$f$交换的$g$必须在双曲周期点的稳定与不稳定流形上作用为$f$的幂。
• 利用周期可达性性质，将局部共轭关系推广为中心化子的全局平凡性。
• 在辛和体积守恒设定下应用扰动技术，包括局部同伦和生成函数，以构造在子流形上紧支集的$C^1$-小微分同胚。
• 利用$C^1$-拟然微分同胚在周期点的稳定与不稳定流形闭包中具有稠密轨道的事实。
• 利用局部$C^1$-辛同胚延拓结果（命题A.2）和体积守恒扰动技术（命题A.4），构造具有所需性质的全局微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度至少为2的紧致流形上，$C^1$微分同胚中具有平凡中心化子的集合是否在$C^1$辛同胚空间中为剩余集？
• RQ2 在$C^1$拓扑下，$C^1$体积守恒微分同胚中具有平凡中心化子的集合是否为剩余集？
• RQ3 对于$S^1$和$S^2$上的$C^1$-拟然微分同胚，其中心化子的结构如何？它是平凡的，还是同构于$\mathbb{R}$？
• RQ4 当动力系统既非Anosov也非Axiom A时，$C^1$-拟然微分同胚的中心化子是否仍可为平凡？
• RQ5 周期可达性性质是否意味着$C^1$-拟然微分同胚的中心化子为平凡？

主要发现

• 对于任意维度至少为2的紧致连通流形$M$，$C^1$辛同胚中具有平凡中心化子的集合在$\text{Symp}^1(M)$中为剩余集。
• 对于任意维度至少为2的紧致连通流形$M$，$C^1$体积守恒微分同胚中具有平凡中心化子的集合在$\text{Diff}^1_\mu(M)$中为剩余集。
• 对于$S^1$上的$C^1$-拟然微分同胚，若周期可达性性质成立，则其中心化子为平凡；但在某些情况下，其中心化子包含一个同构于$\mathbb{R}$的子群。
• 对于$S^2$上的$C^1$-拟然微分同胚，存在一个稠密子集，其中中心化子包含一个同构于$\mathbb{R}$的子群，表明存在非平凡对称性。
• 若$C^1$-拟然微分同胚满足周期可达性性质，则其中心化子为平凡，而该性质对Axiom A和具有1维中心的拟双曲微分同胚成立。
• 通过$\text{Diff}^1_\mu(M)$中的剩余集$\mathcal{R}_{\mu}$建立结果，使得对任意$f \in \mathcal{R}_{\mu}$，任何与$f$交换的$g$必须在每个双曲周期点的稳定或不稳定流形上作用为$f$的幂。