[论文解读] Centralizers of partially hyperbolic diffeomorphisms in dimension 3

Thomas Barthelmé, Andrey Gogolev|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文对三维流形上体积守恒的部分双曲微分同胚的中心化子进行了分类，表明对于具有非几乎可解基本群的纤维丛或双曲三维流形上的离散化Anosov流，其中心化子要么是几乎循环的（由微分同胚的幂生成），要么几乎同构于R，此时微分同胚的某个幂可嵌入光滑Anosov流。该证明扩展了Damjanovic、Wilkinson和Xu的前期工作，使用了[BFFP19]中的三维分类结果。

ABSTRACT

In this note we describe centralizers of volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms which are homotopic to identity on Seifert fibered and hyperbolic 3-manifolds. Our proof follows the strategy of Damjanovic, Wilkinson and Xu (arXiv:1902.05201) who recently classified the centralizer for perturbations of time-$1$ maps of geodesic flows in negative curvature. We strongly rely on recent classification results in dimension 3 established in (arXiv:1908.06227).

研究动机与目标

• 对三维流形上体积守恒的部分双曲微分同胚的中心化子进行分类，尤其关注纤维丛和双曲情形。
• 将Damjanovic、Wilkinson和Xu关于时间-1 Anosov流扰动的刚性结果，扩展至三维中更广泛的离散化Anosov流类。
• 确定此类微分同胚的中心化子为几乎Z或几乎R的条件，并刻画其嵌入光滑Anosov流的特征。
• 探讨基本群的作用，特别是排除几乎可解情形（此时可访问性失效，标准工具失效）。
• 建立在基本群几乎可解的流形上，对动态一致、可访问、体积守恒的微分同胚，其中心化子仍为几乎Z或R，且可嵌入Anosov流。

提出的方法

• 利用[BFFP19]中的分类结果，表明在给定条件下，微分同胚的幂成为离散化Anosov流。
• 采用[DWX19]的策略，但在三维设定中通过中心叶层的拓扑与动力学性质，强化了关键引理。
• 利用离散化Anosov流的中心稳定与中心不稳定叶层的唯一性，证明中心化映射保持所有不变叶层。
• 应用关于横截Anosov流自轨道等价性的结果（来自[ BG19]），表明模去保持中心叶层的子群后，中心化子中的元素为有限指数。
• 利用中心叶层的绝对连续性与遍历性，证明当分解为光滑时，中心化子包含完整的单参数流。
• 利用Anosov流的拓扑弱混合性（通过周期轨道的等分布性），证明即使在有理周期轨道上，微分同胚也与整个流交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三维流形上体积守恒的部分双曲微分同胚的中心化子为几乎循环？
• RQ2 此类微分同胚的中心化子何时包含一个同构于R的单参数子群，这对其动力学意味着什么？
• RQ3 流形的基本群如何影响中心化子的结构，特别是在其为几乎可解时？
• RQ4 在纤维丛或双曲三维流形上的离散化Anosov流能否嵌入光滑Anosov流，其条件是什么？
• RQ5 在使用三维特有分类工具的前提下，[DWX19]中的刚性结果能在多大程度上推广至三维中的一般离散化Anosov流？

主要发现

• 对于具有非几乎可解基本群的三维流形上、作为离散化Anosov流的体积守恒部分双曲微分同胚，其中心化子要么几乎同构于Z，要么几乎同构于R。
• 若中心化子几乎同构于R，则微分同胚的某个幂可嵌入光滑Anosov流。
• 在同伦于恒等映射的纤维丛三维流形上，中心化子要么几乎同构于Z，要么几乎同构于R，且其某个幂可嵌入Anosov流。
• 在双曲三维流形上，对于动态一致的体积守恒部分双曲微分同胚，其中心化子再次要么几乎同构于Z，要么几乎同构于R，且其某个幂可嵌入Anosov流。
• 若微分同胚是横截Anosov流的时间-1映射（非常数屋顶悬垂），且该流为拓扑弱混合，则其中心化子几乎同构于R。
• 证明依赖于：具有任意大有理或无理周期的周期轨道是稠密的，从而可将交换性从周期轨道延拓至整个流。