[论文解读] Centralizing automorphisms and Jordan left derivations on $σ$-prime rings

Lahcen Oukhtite, S. Salhi|ArXiv.org|Feb 4, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 13

一句话总结

该论文为σ-素环建立了一个基本引理：若σ-李代数U是非中心的，且R中的元素a, b满足aUb = σ(a)Ub = 0，则必有a = 0或b = 0。该结果被用于证明：在σ-平方闭李代数上，若自同构是中心化的，则该代数必为中心代数；并进一步推广了Awtar的结果，表明在具有对合的σ-素环中，此类代数上的Jordan左导子实际上是左导子，从而将经典结果推广至具有对合的σ-素环。

ABSTRACT

Let $R$ be a 2-torsion free $σ$-prime ring. It is shown here that if $U ot\subset Z(R)$ is a $σ$-Lie ideal of $R$ and $a, b$ in $R$ such that $aUb=σ(a)Ub=0,$ then either $a=0$ or $b=0.$ This result is then applied to study the relationship between the structure of $R$ and certain automorphisms on $R$. To end this paper, we describe additive maps $d: R \longrightarrow R$ such that $d(u^2) = 2ud(u)$ where $u\in U,$ a nonzero $σ$-square closed Lie ideal of $R.$

研究动机与目标

• 将Mayne关于中心化自同构在素环上的结果推广至σ-素环。
• 消除先前关于中心化自同构结果中对特定元素u₀ ∈ Saσ(R)满足Ru₀ ⊂ U的依赖。
• 将Awtar关于Jordan左导子的结果推广至具有σ-平方闭李代数的σ-素环。
• 证明在2-挠自由的σ-素环中，σ-平方闭李代数上的Jordan左导子实际上是左导子。

提出的方法

• 引入一个关键引理：若U是非中心的σ-李代数，且aUb = σ(a)Ub = 0，则必有a = 0或b = 0。
• 将该引理应用于消除早期关于中心化自同构结果中对u₀的依赖。
• 利用换位子恒等式及σ-对合的性质分析σ-李代数的结构。
• 应用文献[7]中的引理6和引理7，推导出满足d(u²) = 2ud(u)的加法映射所对应的恒等式。
• 应用基本引理，证明对任意x, y ∈ U ∩ Saσ(R)，有d([x,y]) = 0或[x,y]u[x,y] = 0，从而推出d(xy) = xd(y) + yd(x)。
• 通过分解u = (u + σ(u))/2 + (u - σ(u))/2，将结果从Saσ(R) ∩ U扩展至整个U。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，σ-平方闭李代数上的中心化自同构可推出该代数包含于σ-素环的中心？
• RQ2 能否在中心化自同构的结果中，去除对特定元素u₀ ∈ Saσ(R)满足Ru₀ ⊂ U的假设？
• RQ3 在2-挠自由的σ-素环中，σ-平方闭李代数上的每个Jordan左导子是否实际上都是左导子？
• RQ4 σ-对合与σ-素性的性质如何影响李代数与导子的结构？

主要发现

• 基本引理成立：若U是非中心的σ-李代数，且aUb = σ(a)Ub = 0，则必有a = 0或b = 0。
• 对于中心化自同构迫使σ-平方闭李代数为中央代数的结果，条件Ru₀ ⊂ U（其中u₀ ∈ Saσ(R)）并非必要。
• 对任意满足对所有u ∈ U有d(u²) = 2ud(u)的加法映射d，必有d(uv) = ud(v) + vd(u)对所有u, v ∈ U成立。
• 该结果将Awtar关于Jordan左导子的定理推广至σ-素环，表明在σ-平方闭李代数上，Jordan左导子即为左导子。
• 在2-挠自由的σ-素环中，每个Jordan左导子都是左导子，如推论1所述。
• 证明依赖于对Saσ(R)中元素的分析，并利用对合将恒等式从对称元素推广至代数中所有元素。