[论文解读] Certain classes of bi-univalent functions related to Shell-like curves connected with Fibonacci numbers

N. Magesh, V. K. Balaji+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了与螺旋形曲线及斐波那契数列相关的新型双全纯函数类，推导了第二、三阶泰勒-麦克劳林系数的估计值以及Fekete-Szeg€¶不等式。通过次序关系与广义微分算子的系数界，建立了涉及黄金分割比相关参数 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 的精确边界，扩展了复平面上双全纯函数的先前结果。

ABSTRACT

Recently, in their pioneering work on the subject of bi-univalent functions, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} actually revived the study of the coefficient problems involving bi-univalent functions. Inspired by the pioneering work of Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG}, there has been triggering interest to study the coefficient problems for the different subclasses of bi-univalent functions. Motivated largely by Ali et al. \cite{Ali-Ravi-Ma-Mina-class}, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} and Güney et al. \cite{HOG-GMS-JS-Fib-2018} in this paper, we consider certain classes of bi-univalent functions related to shell-like curves connected with Fibonacci numbers to obtain the estimates of second, third Taylor-Maclaurin coefficients and Fekete - Szegö inequalities. Further, certain special cases are also indicated. Some interesting remarks of the results presented here are also discussed.

研究动机与目标

• 引入并研究与螺旋形曲线及斐波那契数列相关的新型双全洁函数子类。
• 推导这些类中第二与第三阶泰勒-麦克劳林系数 $|a_2|$ 和 $|a_3|$ 的精确估计。
• 建立系数泛函 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 的Fekete-Szeg€¶型不等式。
• 推广并扩展单位圆盘中双全洁函数系数界的相关先前结果。

提出的方法

• 作者通过与生成函数 $\tilde{p}(z)$ 相关的次序关系，定义了新类 $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$、$\mathcal{B}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\alpha,\tilde{p})$ 与 $\mathcal{H}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\tilde{p})$，该函数与斐波那契数列及黄金分割比相关。
• 他们利用微分算子 $\mathcal{D}^n$ 在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中定义解析函数，确保其单值性与双全洁性。
• 关键技术在于通过次序关系表达系数界，并应用Carathéodory函数类 $\mathcal{P}$ 控制解析函数的实部。
• 通过依赖于参数 $\mu$ 的泛函 $h(\mu)$ 推导Fekete-Szeg€¶不等式，其分段边界基于 $|h(\mu)|$ 的大小。
• 参数 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0.618$ 起核心作用，源于黄金分割比，定义了螺旋形曲线的几何结构。
• 通过证明特殊情形可退化为 [10] 与 [23] 中的已知边界，验证了结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在与螺旋形曲线及斐波那契数列相关的双全洁函数中，第二与第三阶泰勒-麦克劳林系数 $|a_2|$ 与 $|a_3|$ 的精确估计为何？
• RQ2 在这些新类中，系数泛函 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 的Fekete-Szeg€¶不等式行为如何？
• RQ3 参数 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 在塑造系数界与函数几何性质方面起何作用？
• RQ4 这些新类如何推广或扩展先前关于单位圆盘中双全洁函数的系数界结果，特别是 [10] 与 [23] 中的结果？
• RQ5 当 $\gamma$、$\lambda$ 或 $\alpha$ 趋近于零或其他临界值时，系数界的极限行为如何？

主要发现

• 在 $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$ 中，$|a_2|$ 的界为 $\frac{|\gamma||\tau|}{\sqrt{3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2}}$，明确依赖于 $\gamma$、$\lambda$ 与 $\tau$。
• 在相同类中，$|a_3|$ 的界为 $\frac{4|\gamma||\tau|(1-3\tau)(1+\lambda)^2}{3(1+2\lambda)[3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2]}$，显示出对 $\gamma$、$\lambda$ 与 $\tau$ 的非线性依赖。
• 对于Fekete-Szeg€¶泛函 $|a_3 - \mu a_2^2|$，其界为分段形式：若 $|h(\mu)| \leq \frac{|\gamma||\tau|}{12+24\lambda}$，则为 $\frac{|\gamma||\tau|}{3+6\lambda}$；否则为 $4|h(\mu)|$，其中 $h(\mu)$ 定义为 $\mu$、$\gamma$ 与 $\tau$ 的有理函数。
• 在特殊情形 $\gamma = 1$、$\lambda = 0$ 时，边界退化为 [10, 推论1] 中的结果，确认与已知的 $\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\tilde{p})$ 结果一致。
• 对于 $\mathcal{K}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\tilde{p})$，$|a_2|$ 的界为 $\frac{|\tau|}{\sqrt{4 - 10\tau}}$，$|a_3|$ 的界为 $\frac{|\tau|(1 - 4\tau)}{6 - 15\tau}$，与 [10, 推论5] 一致。
• 参数 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 被证明具有根本性作用，因其源于黄金分割比，控制螺旋形曲线的几何结构，使结果与斐波那契数列产生联系。