[论文解读] Certain logarithmic integrals, including solution of Monthly problem #tbd, zeta values, and expressions for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过推导出当 Re(σ) > −1 时，积分 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 的闭式表达式，解决了对数积分领域长期存在的问题，推广了《Monthly》杂志提出的一个问题。文中引入了与 Nörlund 数 Bₙ⁽ⁿ⁾ 相关的系数 pₙ，并利用生成函数与超几何恒等式，表达了 Stieltjes 常数与 zeta 函数值，为 γ₁、γ₂ 及 Hurwitz zeta 函数提供了新的积分表示。

ABSTRACT

We solve problem x proposed by O. Oloa, AMM xxx 2012 {\bf 119?} (to appear), p. yyy for certain definite logarithmic integrals. A number of generating functions are developed with certain coefficients $p_n$, and some extensions are presented. The explicit relation of $p_n$ to Nörlund numbers $B_n^{(n)}$ is discussed. Certain inequalities are conjectured for the $\{p_n\}$ sequence of coefficients, including its convexity, and an upper bound is demonstrated. It is shown that $p_n$ values may be used to express the Stieltjes constants for the Hurwitz and Riemann zeta functions, as well as values of these zeta functions at integer argument. Other summations with the $p_n$ coefficients are presented.

研究动机与目标

• 解决 O. Oloa 提出的关于特定对数积分求值的《AMM》xxx 2012 年问题。
• 为积分 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 在 Re(σ) > −1 条件下推导闭式表达，扩展原始问题中 σ ≥ 0 的限制。
• 建立系数 pₙ 与已知特殊数（特别是 Nörlund 数 Bₙ⁽ⁿ⁾）之间的联系，并探讨其解析性质。
• 以 pₙ 系数和积分表示的形式，表达 Riemann 与 Hurwitz zeta 函数的 Stieltjes 常数 γₖ。
• 开发新的生成函数与积分表示，结合对数积分结构，将其与 polygamma 和 Barnes G-函数联系起来。

提出的方法

• 通过积分定义系数 pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∫₀¹(−x)ₙ dx，其中 (x)ₙ 为 Pochhammer 符号。
• 推导生成函数 ∑ₙ₌₁^∞ pₙ₊₁ zⁿ⁻¹ = 1/z + 1/ln(1−z)，适用于 |z| < 1，将 pₙ 与被积函数的对数部分和有理部分联系起来。
• 利用级数乘法与微分，导出恒等式 (1/ln(1−z) + 1/z)² = 1/4 + ∑ₙ₌₁^∞[(n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂]zⁿ，实现逐项积分。
• 应用 Beta 函数 B(n+1, σ+1)，将矩积分 ∫₀¹[(1/ln x)+(1/(1−x))]²x^σ dx 表示为包含 pₙ 与 B(n+1, σ+1) 的级数。
• 利用超几何恒等式及 Hurwitz zeta 与 Lerch zeta 函数的积分表示，表达 zeta 值与 Stieltjes 常数。
• 利用积分恒等式 ∫₀¹ x^σ ψ(x+1) dx = 1 − ½ ln(2π) 及 Barnes G-函数的性质，计算最终表达式中的常数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Re(σ) > −1 时，∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 的闭式求值是什么？
• RQ2 系数 pₙ 如何定义？其与 Nörlund 数 Bₙ⁽ⁿ⁾ 的关系为何？
• RQ3 Riemann 与 Hurwitz zeta 函数的 Stieltjes 常数 γₖ 能否用 pₙ 系数表示？
• RQ4 能否基于 pₙ 结构，为 Hurwitz zeta 函数及其导数推导出新的积分表示？
• RQ5 是否存在组合恒等式或超几何恒等式，可解释卷积恒等式 (n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂ = ∑ₖ₌₁ⁿ⁺¹ pₖ₊₁pₙ₋ₖ₊₃？

主要发现

• 积分 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]² dx 的精确值为 ln(2π) − 3/2，解决了《Monthly》问题中的第 (a) 小题。
• 当 Re(σ) > −1 时，广义积分的值为 (σ+1)ln(σ+1) − 2σ + σψ(σ+1) − 2lnΓ(σ+1) + ln(2π) − 3/2，其中 ψ 与 Γ 分别表示 digamma 和 Gamma 函数。
• 系数 pₙ 满足递推关系 pₙ₊₁ = 1/(n+1) − ∑ⱼ₌₁ⁿ⁻¹ pⱼ₊₁/(n−j+1)，且显式表达为 pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∑ₖ₌₁ⁿ s(n,k)/(k+1)，其中 s(n,k) 为第一类 Stirling 数。
• 序列 {pₙ} 被猜想为凸且有上界，且已证明当 n ≥ 5 时，不等式 pₙ₊₁ ≤ pₙ 成立。
• Stieltjes 常数 γ₁ 与 γ₂ 通过包含 dilogarithm 及其导数的积分表达：γ₁ + γ² = ∫₀^∞ [γ ln(1+1/u) + ∂ₛ|ₛ₌₁ Liₛ(−1/u)] / (ln²u + π²) du。
• 推导出一个新的积分表示：ζ(s) − 1/(s−1) = −∫₀^∞ Liₛ(−v) / [v²(ln²v + π²)] dv，该式可通过 s=1 处的 k 阶导数推广至 γₖ。