[论文解读] Certifying the Existence of Epipolar Matrices

Sameer Agarwal, Hon-Leung Lee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Digital Image Processing Techniques参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种多项式时间算法，利用精确线性代数来证明从2D点对应关系中存在基础矩阵，而无需求解非线性系统。它推导出图像坐标中的显式多项式不变量，以确定是否存在实数秩为2的基础矩阵，为最小情况提供了完整且构造性的解决方案，并提出了一类不依赖矩阵参数的新型两视图不变量。

ABSTRACT

Given a set of point correspondences in two images, the existence of a fundamental matrix is a necessary condition for the points to be the images of a 3-dimensional scene imaged with two pinhole cameras. If the camera calibration is known then one requires the existence of an essential matrix. We present an efficient algorithm, using exact linear algebra, for testing the existence of a fundamental matrix. The input is any number of point correspondences. For essential matrices, we characterize the solvability of the Demazure polynomials. In both scenarios, we determine which linear subspaces intersect a fixed set defined by non-linear polynomials. The conditions we derive are polynomials stated purely in terms of image coordinates. They represent a new class of two-view invariants, free of fundamental (resp.~essential)~matrices.

研究动机与目标

• 为从2D点对应关系中存在基础矩阵的问题提供一个完整且算法化的解决方案。
• 表征在数据矩阵 $ Z $ 的秩变化条件下，本质矩阵的Demazure多项式可解性。
• 推导出仅依赖于图像坐标的多项式条件，这些条件是基础矩阵和本质矩阵存在性的充要条件，且不依赖于矩阵本身。
• 建立一类全新的两视图不变量，其不依赖于基础矩阵或本质矩阵，而仅基于图像坐标。
• 通过线性代数条件来证明秩为2和秩为3的解，从而弥合奇异矩阵与实际基础/本质矩阵之间的差距。

提出的方法

• 该方法使用由点对应关系的张量积构成的数据矩阵 $ Z \in \mathbb{R}^{m \times 9} $ 来表示对极约束。
• 对于基础矩阵，该算法通过 $ Z $ 上的线性代数条件检查 $ Z $ 的零空间是否与实数秩为2的矩阵的代数簇相交。
• 对于本质矩阵，该方法分析 $ Z $ 的核，并构造一个Bézout矩阵，以测试由Demazure多项式导出的三次方程的公共实根。
• 该算法通过计算导出矩阵 $ R $ 的秩来分类情况：秩为1表示存在，秩为4表示不存在，而秩为2或3时则通过判别式或最大公因式（GCD）进行根的查找。
• 该方法利用曲线 $ \mathcal{C} $ 的参数化，并使用复数本质簇 $ \mathcal{E}_{\mathbb{C}} $ 的Chow形式来表征解。
• 所有条件均以仅依赖于图像坐标的多项式方程和不等式形式表达，避免了显式矩阵计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种2D点对应关系条件下，存在实数秩为2的基础矩阵？
• RQ2 对于给定的数据矩阵 $ Z $，当Demazure多项式系统存在实数解时，即表明存在本质矩阵，此时的条件是什么？
• RQ3 是否可以仅通过对数据矩阵 $ Z $ 进行线性代数运算来证明基础矩阵或本质矩阵的存在性，而无需求解非线性系统？
• RQ4 在图像坐标中，哪些多项式不变量能完全表征对极矩阵的存在性，且不依赖于矩阵本身？
• RQ5 如何利用代数几何方法，正式地弥合奇异矩阵与实际基础矩阵之间的差距？

主要发现

• 该论文提供了一个完整且多项式时间的算法，仅通过点对应关系和对数据矩阵 $ Z $ 的线性代数运算，即可证明基础矩阵的存在性。
• 当 $ \textup{rank}(Z) \leq 3 $ 或 $ \geq 7 $ 时，本质矩阵的存在性完全由秩条件和数据上的多项式约束表征。
• 当 $ 4 \leq \textup{rank}(Z) \leq 6 $ 时，该方法可判断Demazure多项式是否存在复数解；当导出矩阵 $ R $ 的秩为2或3时，通过判别式和GCD检查是否存在实根。
• 当 $ \textup{rank}(R) = 1 $ 时，算法正确识别出存在性；当 $ \textup{rank}(R) = 4 $ 时，识别出非存在性；对中间秩则使用判别式和Bézout矩阵检查。
• 所导出的条件是图像坐标中的多项式不变量，构成了一类全新的两视图不变量，其不依赖于基础矩阵或本质矩阵。
• 该方法通过精确线性代数证明秩为2的解，避免使用非线性求解器，从而弥合了奇异矩阵与实际基础矩阵之间的差距。