[论文解读] Ces\`aro bounded operators in Banach spaces

Teresa Bermúdez, A. Bonilla+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Holomorphic and Operator Theory被引用 1

一句话总结

本文研究了巴拿赫空间与希尔伯特空间中的切萨罗有界算子，为绝对切萨罗有界算子和一致克雷 ss 有界算子的算子范数建立了精确的渐近界。研究证明了此类算子满足 ||T^n|| = o(n)（在希尔伯特空间中为 o(n^{1/2})），解决了关于一致克雷 ss 有界算子的一个问题，表明在希尔伯特空间中 lim ||T^n / n|| = 0，同时在 ℕ^p(N) 上构造了混合的、均值遍历的算子。此外，本文刻画了 m-等距算子中的数值超循环性，表明严格 m-等距加权移位算子的伴随算子是超循环的，且弱遍历的 3-等距算子是弱数值超循环的。

ABSTRACT

We study several notions of boundedness for operators. It is known that any power bounded operator is absolutely Ces\`aro bounded and strong Kreiss bounded (in particular, uniformly Kreiss bounded). The converses do not hold in general. In this note, we give examples of topologically mixing absolutely Ces\`aro bounded operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1\le p < \infty$, which are not power bounded, and provide examples of uniformly Kreiss bounded operators which are not absolutely Ces\`aro bounded. These results complement very limited number of known examples (see \cite{Shi} and \cite{AS}). In \cite{AS} Aleman and Suciu ask if every uniformly Kreiss bounded operator $T$ on a Banach spaces satisfies that $\lim_n\| \frac{T^n}{n}\|=0$. We solve this question for Hilbert space operators and, moreover, we prove that, if $T$ is absolutely Ces\`aro bounded on a Banach (Hilbert) space, then $\| T^n\|=o(n)$ ($\| T^n\|=o(n^{\frac{1}{2}})$, respectively). As a consequence, every absolutely Ces\`aro bounded operator on a reflexive Banach space is mean ergodic, and there exist mixing mean ergodic operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1< p <\infty$. Finally, we give new examples of weakly ergodic 3-isometries and study numerically hypercyclic $m$-isometries on finite or infinite dimensional Hilbert spaces. In particular, all weakly ergodic strict 3-isometries on a Hilbert space are weakly numerically hypercyclic. Adjoints of unilateral forward weighted shifts which are strict $m$-isometries on $\ell ^2(\mathbb{N})$ are shown to be hypercyclic.

研究动机与目标

• 为绝对切萨罗有界算子和一致克雷 ss 有界算子的 ||T^n|| 建立精确的渐近增长速率。
• 解决 Aleman 和 Suciu 提出的问题：是否每个巴拿赫空间上的一致克雷 ss 有界算子都满足 lim ||T^n / n|| = 0。
• 在 ℕ^p(N) 上构造拓扑混合的、绝对切萨罗有界但非幂有界的算子的例子。
• 刻画 m-等距算子中的数值超循环性和遍历性，特别是严格 3-等距算子及其伴随算子。
• 提供弱遍历 3-等距算子的新例子，并研究其在有限维与无限维希尔伯特空间中的动力学性质。

提出的方法

• 通过分析切萨罗平均 Mn(T) = (1/(n+1)) ∑_{k=0}^n T^k 来定义并研究切萨罗有界性及相关概念。
• 利用谱理论与若尔当代数形式分析具有有限维不变子空间的算子的 ||T^n|| 渐近行为。
• 应用谱映射定理与加权移位的性质，构造具有所需动力学性质的 m-等距算子例子。
• 利用前向加权移位在 ℕ^p(N) 上的数值超循环性与非幂有界性之间的等价性，其中 1 < p < ∞。
• 通过酉等价性，将 ℕ^2(N) 上的结果推广至一般无限维可分希尔伯特空间。
• 采用涉及 ||T^k x||^2 多项式增长及复数域中稠密性论证的技术，证明数值轨道的非稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个巴拿赫空间上的一致克雷 ss 有界算子 T 是否都满足 lim_{n → ∞} ||T^n / n|| = 0？
• RQ2 是否存在拓扑混合的、绝对切萨罗有界但非幂有界的算子，定义在 ℕ^p(N) 上？
• RQ3 所有希尔伯特空间上的弱遍历严格 3-等距算子是否都是弱数值超循环的？
• RQ4 在 ℕ^2(N) 上，若前向加权移位的伴随算子是严格 m-等距算子（m ≥ 2），其是否表现出超循环性？
• RQ5 绝对切萨罗有界算子与一致克雷 ss 有界算子的 ||T^n|| 的精确渐近增长是什么？

主要发现

• 对任意 0 < ε < 1/p，存在一个在 ℕ^p(N) 上的绝对切萨罗有界混合算子 T，使得 ||T^n|| = (n+1)^{1/p - ε}。
• 每个在反射性巴拿赫空间上的绝对切萨罗有界算子都是均值遍历的。
• 每个在希尔伯特空间上的绝对切萨罗有界算子都满足 ||T^n|| = o(n^{1/2})。
• 每个在希尔伯特空间上的一致克雷 ss 有界算子都满足 ||T^n|| = o(n)，特别地，有 lim ||T^n / n|| = 0。
• 在 ℕ^2(N) 上，任意严格 m-等距算子的前向加权移位算子的伴随算子（m ≥ 2）都是超循环的。
• 每个在希尔伯特空间上的弱遍历严格 3-等距算子都是弱数值超循环的。