[论文解读] CFT approach to the $q$-Painlevé VI equation

M. Jimbo, Hajime Nagoya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文通过在AGT对应关系中利用组合级数构造的四个tau函数之比，建立了$ q $-Painlevé VI方程的共形场论（CFT）方法的$ q $-模拟。它提出了八个tau函数的猜想型双线性差分方程，并给出了该解的显式表达式，将等单变体/CFT对应关系推广到了$ q $-差分设置。

ABSTRACT

Iorgov, Lisovyy, and Teschner established a connection between isomonodromic deformation of linear differential equations and Liouville conformal field theory at $c=1$. In this paper we present a $q$ analog of their construction. We show that the general solution of the $q$-Painlevé VI equation is a ratio of four tau functions, each of which is given by a combinatorial series arising in the AGT correspondence. We also propose conjectural bilinear equations for the tau functions.

研究动机与目标

• 通过构造$ q $-Painlevé VI方程的$ q $-模拟，将等单变体/CFT对应关系推广到$ q $-差分设置。
• 将$ q $-Painlevé VI方程的一般解表示为来自AGT框架中共形块的四个tau函数之比。
• 提出八个tau函数的猜想型双线性差分方程，包括与$ x=0 $和$ x=\infty $之外的奇点相关的tau函数。
• 通过在量子仿射$ \mathfrak{gl}_1 $代数中使用三价顶点算符和辫子关系，克服$ q $-模拟等单变体理论中缺乏融合的障碍。

提出的方法

• 利用在$ t=q $处的量子仿射$ \mathfrak{gl}_1 $代数中通过三价顶点算符构造的$ q $-模拟共形块，对应中心电荷$ c=1 $。
• 引入$ q $-模拟退化初级场，并利用其辫子关系推导$ q $-Painlevé VI方程的解。
• 应用共形块函数的傅里叶变换，构造$ q $-模拟黎曼问题的解$ Y(x) $。
• 通过在$ x=0 $和$ x=\infty $处的级数展开，得到四个tau函数，进而将$ q $-Painlevé VI方程的解$ y,z $表示为这些函数的比值。
• 提出八个tau函数的猜想型双线性差分方程（3.16）–（3.23），包括与额外奇点相关的tau函数。
• 利用AGT对应关系中的组合公式，将tau函数表示为包含$ q $-Pochhammer符号和$ q $-Gamma函数的无穷级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过$ c=1 $处的共形场论，将等单变体/CFT对应关系推广到$ q $-差分Painlevé方程？
• RQ2 如何将$ q $-Painlevé VI方程的一般解用来自共形块的tau函数表示？
• RQ3 在$ q $-模拟设置下，tau函数应满足何种适当的双线性差分方程？
• RQ4 为何缺乏融合是构建等单变体理论完整$ q $-模拟的主要障碍？
• RQ5 $ q $-模拟初级场的辫子关系如何与$ q $-Painlevé VI方程的结构相关联？

主要发现

• $ q $-Painlevé VI方程的一般解表示为四个tau函数的比值，每个tau函数均由AGT对应关系中的组合级数给出。
• 解$ y,z $通过公式（3.24）显式表示为这四个tau函数的比值，基于猜想型双线性方程。
• 提出八个tau函数的猜想型双线性差分方程（3.16）–（3.23），将已知结构扩展至包括$ x=0 $和$ x=\infty $之外的奇点。
• 该构造依赖于$ q $-模拟退化场的辫子关系，其在附录A中通过组合方法得到证明。
• 该方法建立了等单变体形变的CFT方法的$ q $-模拟，将连续情形推广到了$ q $-差分设置。
• 该工作提供了一个利用顶点算符和$ q $-特殊函数构造$ q $-Painlevé tau函数的框架，具有显式的级数表示。