[论文解读] CFT$_D$ from TQFT$_{D+1}$ via Holographic Tensor Network, and Precision Discretisation of CFT$_2$

Lin Chen, Hao-Chen Zhang+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2022

Parallel Computing and Optimization Techniques被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的全息张量网络构造方法，通过晶格重整化群（RG）算符，从D+1维的拓扑量子场论（TQFT$_{D+1}$）实现D维共形场理论（CFT$_D$）。通过计算RG算符本征态与D+1维拓扑序基态之间的重叠，该方法生成了具有范畴对称性的CFT的配分函数。关键贡献在于构建了一个精确且可解析处理的全息张量网络，能够恢复已知的临界点（如SU(2)$_k$模型），并揭示在$k=4$处存在一个三临界点，同时支持与AdS/CFT相符的体-边界关联函数的数值计算。

ABSTRACT

We show that the path-integral of conformal field theories in $D$ dimensions (CFT$_D$) can be constructed by solving for eigenstates of an RG operator following from the Turaev-Viro formulation of a topological field theory in $D+1$ dimensions (TQFT$_{D+1}$), explicitly realising the holographic sandwich relation between a symmetric theory and a TQFT. Generically, exact eigenstates corresponding to symmetric-TQFT$_D$ follow from Frobenius algebra in the TQFT$_{D+1}$. For $D=2$, we constructed eigenstates that produce 2D rational CFT path-integral exactly, which, curiously connects a continuous field theoretic path-integral with the Turaev-Viro state sum. We also devise and illustrate numerical methods for $D=2,3$ to search for CFT$_D$ as phase transition points between symmetric TQFT$_D$. Finally since the RG operator is in fact an exact analytic holographic tensor network, we compute ``bulk-boundary'' correlator and compare with the AdS/CFT dictionary at $D=2$. Promisingly, they are numerically compatible given our accuracy, although further works will be needed to explore the precise connection to the AdS/CFT correspondence.

研究动机与目标

• 建立D维CFT与D+1维TQFT之间精确且可解析处理的全息对偶关系，利用晶格RG算符。
• 证明RG算符本征态与TQFT基态之间的重叠可产生具有范畴对称性的CFT的配分函数。
• 开发一种新型张量重整化群算法，利用RG算符的代数与几何结构，实现临界点的数值探测。
• 在精确全息张量网络中计算体-边界关联函数，并评估其与AdS/CFT对应关系的兼容性。

提出的方法

• RG算符由D+1维中的拓扑序$T$构造而成，其本征态源自输入融合范畴$\mathcal{C}$中的高阶可分Frobenius代数。
• RG算符本征态$|\Omega\rangle$与TQFT基态$|\Psi\rangle$之间的重叠$\langle\Omega|\Psi\rangle$给出具有范畴对称性的D维CFT的配分函数。
• 该方法使用D+1维的Dijkgraaf-Witten模型作为底层TQFT，其中群上同调类$\alpha \in H^{D+1}(G, U(1))$定义了拓扑序。
• RG算符以特定张量结构（如三角形和三线顶点）实现为张量网络，强制投影到重复RG流下的固定点波函数。
• 设计了一种新型张量重整化群算法，充分利用RG算符的代数与几何特性，以数值方式定位临界点。
• 体-边界关联函数直接从精确全息张量网络中计算，并与AdS/CFT字典进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从D+1维拓扑序导出的晶格RG算符生成具有范畴对称性的D维CFT的配分函数？
• RQ2 如何利用RG流的精确张量网络表示，数值定位D维CFT的临界点？
• RQ3 对应于共形固定点的RG算符本征态的精确代数结构是什么？
• RQ4 所计算的全息张量网络中的体-边界关联函数在多大程度上与AdS/CFT对应关系兼容？
• RQ5 该方法是否能恢复可积晶格模型（如SU(2)$_k$模型）的已知临界耦合常数，并揭示新的临界行为？

主要发现

• RG算符本征态与TQFT基态之间的重叠$\langle\Omega|\Psi\rangle$产生具有范畴对称性的D维CFT的配分函数，明确实现了全息关系。
• 该方法在数值上成功恢复了SU(2)$_k$可积晶格模型的已知临界耦合常数，验证了其准确性和预测能力。
• 在SU(2)$_k$族中发现了新的三临界点，位于$k=4$处，暗示RG流中存在新的固定点结构。
• 2+1维伊辛模型通过将4维量子码作为体拓扑序，成功以奇异关联函数形式实现。
• 所提出的张量重整化群算法充分利用了RG算符的代数与几何结构，实现了对3维临界温度的精确数值搜索。
• 在精确全息张量网络中计算的体-边界关联函数在数值上与AdS/CFT字典兼容，尽管仍需进一步工作以明确其精确联系。