[论文解读] CGMY and Meixner Subordinators are Absolutely Continuous with respect to One Sided Stable Subordinators

Dilip B. Madan, Marc Yor|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 41

一句话总结

本文证明了CGMY和Meixner Lévy过程可表示为时间改变的布朗运动，其中时间改变相对于单边稳定子ordinator绝对连续——具体而言，CGMY对应$Y/2$-稳定子ordinator，Meixner对应$1/2$-稳定子ordinator。此表示法使通过上下文子ordinator实现高效模拟成为可能，并为建模具有相关跳跃和偏度的多资产衍生品提供了基础。

ABSTRACT

We describe the CGMY and Meixner processes as time changed Brownian motions. The CGMY uses a time change absolutely continuous with respect to the one-sided stable $(Y/2)$ subordinator while the Meixner time change is absolutely continuous with respect to the one sided stable $(1/2)$ subordinator$.$ The required time changes may be generated by simulating the requisite one-sided stable subordinator and throwing away some of the jumps as described in Rosinski (2001).

研究动机与目标

• 建立CGMY和Meixner过程可表示为时间改变的布朗运动。
• 证明这些过程的时间改变相对于单边稳定子ordinator绝对连续。
• 基于相关稳定子ordinator对布朗运动进行上下文子ordinator，开发模拟策略。
• 通过保持边际Lévy动态的同时相关化基础布朗运动，实现多资产结构化产品的实用建模。

提出的方法

• 利用Sato定理30.1推导子ordinator布朗运动的Lévy测度，将子ordinator的Lévy测度与结果过程的Lévy测度关联起来。
• 应用Sato定理33.1的绝对连续性准则，要求存在密度函数$f(t)$，使得$\nu_A(dt) = f(t)\nu_B(dt)$，且$\int_0^\infty \nu_B(dt)(\sqrt{f(t)} - 1)^2 < \infty$。
• 对于CGMY，通过Lévy密度和特征函数分析，证明时间改变相对于单边稳定$Y/2$子ordinator绝对连续。
• 对于Meixner，利用密度$k(x) = \frac{\delta a}{\sqrt{2\pi x^3}}$和生存概率$P(M_1^{(3)} \geq C\sqrt{u})$，证明时间改变相对于单边稳定$1/2$子ordinator绝对连续。
• 通过生成参考稳定子ordinator的跳跃并使用依赖于过程参数的函数$g(u)$进行接受-拒绝薄化，实现模拟。
• 最终过程模拟为$X = \frac{b}{a}\tau + \sqrt{\tau}z$，其中$\tau$为薄化后的时间改变，$z$为标准正态变数。

实验结果

研究问题

• RQ1 CGMY过程能否表示为相对于单边稳定子ordinator绝对连续的时间改变布朗运动？
• RQ2 Meixner过程能否表示为相对于单边稳定$1/2$子ordinator绝对连续的时间改变布朗运动？
• RQ3 确保时间改变相对于参考稳定子ordinator绝对连续的Radon-Nikodym密度的函数形式为何？
• RQ4 此类表示如何被用于高效模拟过程并保持其Lévy性质？
• RQ5 当校准至真实市场数据时，该模拟方法的经验准确性如何？

主要发现

• CGMY过程被证明相对于单边稳定$Y/2$子ordinator绝对连续，从而可表示为时间改变的布朗运动。
• Meixner过程被证明相对于单边稳定$1/2$子ordinator绝对连续，验证了其时间改变布朗运动表示的有效性。
• CGMY和Meixner过程的模拟通过使用基于函数$g(u)$的接受-拒绝机制对参考稳定子ordinator的跳跃进行薄化实现，确保了正确的时间改变分布。
• 对于参数$C=1, G=5, M=10, Y=0.5$的CGMY，卡方检验得到的p值为0.9172，表明与理论密度拟合极佳。
• 对于参数$a=0.25, b=-1.5, \delta=1$的Meixner，卡方检验得到的p值为0.6427，证实与理论分布高度一致。
• 该模拟框架通过相关化基础布朗运动，同时保持各边际过程独立的时间改变，实现了多资产建模。