[论文解读] Chain coalgebras and distributivity

Christian Lomp, Alveri Sant’Ana|ArXiv.org|Oct 4, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文将右余理想格为分配格的余代数刻画为链余代数的余积——即其余理想格完全有序的余代数。它表明有限维链余代数是诺特链环的有限对偶，其剩余域为基域上的有限维除环；而无限维的情形则是左诺特链整环的有限对偶。在完美域上，所有无限维链余代数均可实现为除环上形式幂级数环的余对偶或柯坦余代数。

ABSTRACT

We show that coalgebras whose lattice of right coideals is distributive are coproducts of coalgebras whose lattice of right coideals is a chain. Those chain coalgebras are characterized as finite duals of noetherian chain rings whose residue field is a finite dimensional division algebra over the base field. They also turn out to be coreflexive and infinite dimensional chain coalgebras turn out to be finite duals of left noetherian chain domains. Given any finite dimensional division algebra D and D-bimodule structure on D we construct a chain coalgebra as a cotensor coalgebra. Moreover if D is separable over the base field, every chain coalgebra of type D can be embedded in such a cotensor coalgebra. As a consequence cotensor coalgebras arising in this way are the only infinite dimensional chain coalgebras over perfect fields. Finite duals of power series rings with coeficients in a finite dimensional division algebra D are further examples of chain coalgebras, which also can be seen as the tensor product of D* and the divided power coalgebra and can be realized as the generalized path coalgebra of a loop. If D is central, any chain coalgebra is a subcoalgebra of the finite dual of D[[x]].

研究动机与目标

• 刻画右余理想格为分配格的余代数。
• 在域上对链余代数——即右余理想格完全有序的余代数——进行分类。
• 确定完美域上无限维链余代数的结构。
• 通过柯坦余代数与斜幂级数环，显式构造非余交换链余代数。
• 证明所有完美域上的无限维链余代数均来自左诺特链整环或特定幂级数环的有限对偶。

提出的方法

• 利用余代数与代数之间的对偶性：余代数 C 是链余代数当且仅当 C* 作为其对偶代数上的单模。
• 将有限维链余代数刻画为诺特链环的有限对偶，其剩余域为基域上的有限维除环。
• 将无限维链余代数构造为左诺特链整环的有限对偶。
• 通过指定双模结构，在除环 D 上利用柯坦余代数实现链余代数。
• 利用同构 C* ≃ D[[x]] 或 D[[x,α]]，将幂级数环的有限对偶识别为链余代数。
• 证明在完美域上，所有无限维链余代数均为 D[[x]] 或斜幂级数环 D[[x,α]] 的有限对偶，其中 D 为中心或非交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些余代数具有分配格的右余理想？它们如何分解？
• RQ2 链余代数 C 的对偶代数 C* 具有何种代数结构？
• RQ3 如何在非代数闭域上显式构造非余交换链余代数？
• RQ4 完美域上无限维链余代数的完整分类是什么？
• RQ5 在 R（R, C, H）上，哪些有限维除环通过其幂级数对偶产生不同的链余代数？

主要发现

• 任意具有分配格右余理想格的余代数，同构于链余代数的余积。
• 有限维链余代数恰好是诺特链环的有限对偶，其剩余域为基域上的有限维除环。
• 无限维链余代数是左诺特链整环的有限对偶。
• 在实数域上，唯一的无限维链余代数为 R[[x]]°, C[[x]]°, C[[x,α]]°, 和 H[[x]]°，其中 α 为复共轭。
• 对任意具有 D-双模结构的有限维除环 D，可构造一个链余代数为柯坦余代数；若 D 可分，则所有此类链余代数均嵌入于该柯坦余代数中。
• 当 D 为中央时，每个链余代数均为 D[[x]] 有限对偶的子余代数。