[论文解读] Chain level Floer theory and Hofer's geometry of the Hamiltonian diffeomorphism group

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Apr 25, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 11

一句话总结

该论文证明了在弱精确辛流形上，准自治哈密顿路径，或在一般辛流形上的自治哈密顿路径，在所有周期小于1的可缩周期轨道均为$C^1$-小且固定最大值与最小值不为过度扭转时，其在端点固定的同伦类中是长度最小化的。证明使用了带实滤子的链级弗洛尔同调与谱不变量，以控制作用谱，并通过非下压引理与手柄滑动引理建立最小性。

ABSTRACT

In this paper we first apply the chain level Floer theory to the study of Hofer's geometry of Hamiltonian diffeomorphism group in the cases without quantum contribution: we prove that any quasi-autonomous Hamiltonian path on weakly exact symplectic manifolds or any autonomous Hamiltonian path on arbitrary symplectic manifolds is length minimizing in its homotopy class with fixed ends, as long as it has a fixed maximum and a fixed minimum which are not over-twisted and all of its contractible periodic orbits of period less than one are sufficiently $C^1$-small. Next we give a construction of new invariant norm of Viterbo's type on the Hamiltonian diffeomorphism group of arbitrary compact symplectic manifolds.

研究动机与目标

• 在哈密顿微分同胚群的霍弗几何中，建立准自治与自治哈密顿路径的长度最小性。
• 通过移除慢速假设并允许时变哈密顿量与非恒定周期轨道，推广先前关于慢速自治哈密顿量的结果。
• 在紧致辛流形的哈密顿微分同胚群上，构造一个新的维特博型不变范数。
• 为研究霍弗几何提供一个链级弗洛尔理论框架，尤其适用于无量子贡献的情形。

提出的方法

• 使用带实滤子的链级弗洛尔同调分析哈密顿路径的作用谱与谱不变量。
• 应用绝热同伦与链同伦技术，关联不同哈密顿量的弗洛尔复形。
• 对$C^2$-小哈密顿量使用局部弗洛尔复形，以比较不动点集与图交点。
• 利用手柄滑动引理与非下压引理，控制同伦下的谱不变量，并确保作用滤子的连续性。
• 通过同伦构造哈密顿量族，并利用伪全纯曲线的正则性，确保谱控制所需的模空间非零。
• 应用谱不变量与作用估计，证明在端点固定的同伦下，路径长度无法被缩短。

实验结果

研究问题

• RQ1 在霍弗几何中，准自治哈密顿路径在端点固定的同伦类中何时是长度最小化的？
• RQ2 能否通过弗洛尔理论方法移除先前关于自治哈密顿路径结果中的慢速假设？
• RQ3 谱不变量与弗洛尔同调如何用于控制作用谱，并在无量子贡献的情形下证明最小性？
• RQ4 非下压引理与手柄滑动引理在建立谱不变量的连续性与下界中起什么作用？
• RQ5 能否通过链级弗洛尔理论在任意紧致辛流形的哈密顿微分同胚群上构造一个新的维特博型不变范数？

主要发现

• 若所有周期小于1的可缩周期轨道均为$C^1$-小，且固定最大值与最小值不为过度扭转，则任意准自治哈密顿路径在弱精确辛流形上，其在端点固定的同伦类中是长度最小化的。
• 该结果可推广至无须慢速条件的任意辛流形上的自治哈密顿路径。
• 证明依赖于某些伪全纯曲线模空间的非零性，以确保谱不变量在同伦下行为良好。
• 手柄滑动引理与非下压引理被用于建立谱不变量的连续性与下界，从而推出长度最小性。
• 通过链级弗洛尔理论，在任意紧致辛流形的哈密顿微分同胚群上构造了一个新的维特博型不变范数。
• 证明了谱不变量$ u_{ ext{spec}}$沿路径是连续的，这意味着路径无法通过端点固定的同伦被缩短。