[论文解读] Chain Logic and Shelah's Infinitary Logic

Mirna Džamonja, Jouko Väänánen|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文证明，当限制在具有可数共尾性的奇异基数 $\kappa$ 且满足 $\kappa = \beth_\kappa$ 时，Karp 的链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 在满足插值性、强不可定义良序性以及最大性方面，其表达能力与 Shelah 的逻辑 $L^1_\kappa$ 相当。本文证明了该链逻辑满足完备性定理、并集引理以及链无关片段的特征刻画，提供了一种语法上清晰透明的替代方案，相较于 $L^1_\kappa$，并解决了 Shelah 问题 1.4 在链模型下的情形。

ABSTRACT

For a cardinal of the form $\kappa=\beth_\kappa$, Shelah's logic $L^1_\kappa$ has a characterisation as the maximal logic above $\bigcup_{\lambda<\kappa} L_{\lambda, \omega}$ satisfying Strong Undefinability of Well Order (SUDWO). SUDWO is a strengthening of the Undefinability of Well Order (UDWO). We prove that if $\kappa$ is singular of countable cofinality, Karp's chain logic \cite{Karpintroduceschain} is above $L^1_\kappa$, while it is already known that it satisfies UDWO and Interpolation. Moreover, we show that in these circumstances, the chain logic is -- in a sense -- maximal among logics with chain models to satisfy UDWO. We then show that the chain logic gives a partial solution to Problem 1.4. from Shelah's \cite{Sh797}, which asked whether for $\kappa$ singular of countable cofinality there was a logic strictly between $ L_{\kappa^+, \omega}$ and $L_{\kappa^+, \kappa^+}$ having Interpolation. We show that modulo accepting as the upper bound a model class of $L_{\kappa, \kappa}$, Karp's chain logic satisfies the required properties. In addition, we show that this chain logic is not $\kappa$-compact, a question that we have asked on various occasions. We contribue to the further development of chain logic by proving the Union Lemma and identifying the chain-independent fragment of the logic, showing that it still has considerable expressive power. In conclusion, we have shown that the simply defined chain logic emulates the logic $L^1_\kappa$ in satisfying Interpolation, undefinability of well-order and maximality with respect to it, and the Union Lemma. In addition it has a Completeness Theorem.

研究动机与目标

• 比较 Karp 的链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 与 Shelah 的逻辑 $L^1_\kappa$ 在具有可数共尾性的奇异基数 $\kappa$ 背景下的表现。
• 解决 Shelah 的问题 1.4，即寻找一个严格介于 $L_{\kappa^+,\omega}$ 与 $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ 之间的逻辑，且对具有可数共尾性的奇异 $\kappa$ 满足插值性。
• 证明链逻辑为 $L^1_\kappa$ 提供了一种语法上透明的替代方案，而 $L^1_\kappa$ 目前尚无已知的语法形式。
• 刻画 $L_{\kappa,\kappa}$ 的链无关片段，并展示其在经典性质（如省略团或长分支）上的表达能力。
• 确立链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 并非 $\kappa$-紧致，从而解决一个长期悬而未决的问题。

提出的方法

• 将链模型与链同构定义为基础语义，取代 $L_{\kappa,\kappa}$ 中的经典模型。
• 证明当 $\kappa$ 为具有可数共尾性的奇异基数且满足 $\kappa = \beth_\kappa$ 时，$L^c_{\kappa,\kappa}$ 满足强不可定义良序性（SUDWO）与插值性。
• 引入链模型的并集引理，表明若某句子在链的所有模型中成立，则其在并集中也成立。
• 将 $L_{\kappa,\kappa}$ 的链无关片段刻画为：其真值在同一个模型的不同正规链分解中保持不变的句子集合。
• 利用链无关片段表达经典模型论性质，如省略大小为 $\lambda$ 的团（其中 $\lambda < \kappa$ 且 $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$）。
• 通过证明前者在关键性质上与后者一致，同时保有标准语法形式，从而比较 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 与 $L^1_\kappa$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有可数共尾性且满足 $\kappa = \beth_\kappa$ 的奇异 $\kappa$，Karp 的链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 是否满足插值性与强不可定义良序性？
• RQ2 链逻辑能否解决 Shelah 的问题 1.4，即是否存在一个严格介于 $L_{\kappa^+,\omega}$ 与 $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ 之间的逻辑，且对具有可数共尾性的奇异 $\kappa$ 满足插值性？
• RQ3 在满足 SUDWO 的链模型逻辑中，链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 是否为最大？
• RQ4 链无关片段 $L_{\kappa,\kappa}$ 的表达能力如何？它能否表达如省略长团或长分支等经典性质？
• RQ5 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 是否为 $\kappa$-compact？与 $L^1_\kappa$ 在此方面有何比较？

主要发现

• 对于具有可数共尾性且满足 $\kappa = \beth_\kappa$ 的奇异 $\kappa$，链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 满足强不可定义良序性与插值性，其核心性质与 Shelah 的 $L^1_\kappa$ 完全一致。
• 证明了在满足 SUDWO 的链模型逻辑中，链逻辑 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 是最大的，从而在 Lindström 定理的精神下提供了自然的刻画。
• $L_{\kappa,\kappa}$ 的链无关片段被刻画为：其真值在同一个模型的所有正规链分解中保持不变的句子集合；该片段可表达如省略大小为 $\lambda$ 的团（其中 $\lambda < \kappa$ 且 $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$）等性质。
• 证明了链模型的并集引理：若某句子在链的所有模型中成立，则其在并集中也成立；该结果对完备性与转移结果至关重要。
• 本文通过证明 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 并非 $\kappa$-compact，解决了长期悬而未决的问题。
• 链逻辑为 $L^1_\kappa$ 提供了一种语法上清晰透明的替代方案，而 $L^1_\kappa$ 目前尚无已知语法形式，同时在关键模型论性质上与之完全一致。