[论文解读] Chain of impacting pendulums as non-analytically perturbed sine-Gordon system

H. Arodź, P. Klimas|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2005

Nonlinear Photonic Systems被引用 4

一句话总结

本文研究了一类具有有限范围kink的撞击摆链，作为非解析扰动的 sine-Gordon 系统。推导了kink宽度的渐近公式，建立了将该系统与sine-Gordon孤子联系起来的折叠变换，并表明尽管sine-Gordon解提供了良好的近似，但由于场极值处的非解析扰动，该物理系统表现出独特的动力学行为。

ABSTRACT

We investigate a mechanical system consisting of infinite number of harmonically coupled pendulums which can impact on two rigid rods. Because of gravitational force the system has two degenerate ground states. The related topological kink - likely the simplest one presented in literature so far - is a compacton, that is it has strictly finite extension. In the present paper we elucidate the relation of such system with sine-Gordon model. Also, solutions describing waves with large amplitude, and an asymptotic formula for the width of the kink are obtained.

研究动机与目标

• 研究受刚性杆约束的谐振耦合摆链的动力学，该系统表现出自发对称性破缺和拓扑kink。
• 尽管存在非解析扰动，仍建立该系统与sine-Gordon模型之间的数学与物理联系。
• 在大扩展极限下，推导kink宽度的渐近公式。
• 探讨使用sine-Gordon孤子解作为撞击摆系统近似解的有效性与局限性。

提出的方法

• 通过一个分段势能 $ V(\phi) $ 的拉格朗日量建模该系统，限制 $ \phi \in [-\phi_0, \phi_0] $，在边界处实现弹性碰撞。
• 折叠变换将原场 $ \phi $ 映射到新场 $ \psi $，使系统转化为类似sine-Gordon方程的形式。
• 证明展开后的系统为非解析扰动的sine-Gordon系统，其中高阶傅里叶模态（$ n \geq 2 $）在势能中引入非解析修正。
• 扰动表示为 $ \sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n\psi)}{n} $，该表达式有限但于 $ \psi = 2k\pi $ 处不连续，表明其具有非解析行为。
• 在小角度极限（$ \phi_0 \ll 1 $）下，kink解为 $ \phi_c(\xi) = \phi_0 \sin \xi $，定义于 $ \xi \in [-\pi/2, \pi/2] $，具有紧支撑。
• 通过折叠变换，将sine-Gordon呼吸子解用作近似解，得到摆链在杆之间周期性弹跳的运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在非解析扰动，撞击摆链系统与sine-Gordon模型有何关联？
• RQ2 当kink无限扩展时，其宽度的渐近行为如何？
• RQ3 sine-Gordon孤子解能否准确描述该具有碰撞的系统动力学？
• RQ4 势能中的非解析项在区分该系统与标准sine-Gordon模型中起何作用？
• RQ5 在该无限自由度系统中，是否可能出现混沌或复杂动力学行为，如擦碰分岔？

主要发现

• 在小角度极限下，该系统中的kink为具有严格有限扩展 $ \pi $ 的紧凑子（compacton），其表达式为 $ \phi_c(\xi) = \phi_0 \sin \xi $，其中 $ \xi \in [-\pi/2, \pi/2] $。
• 在大扩展极限下，推导出kink宽度的渐近公式，表明当系统趋近于sine-Gordon情形时，宽度发散。
• 展开后的系统在数学上等价于一个非解析扰动的sine-Gordon系统，其扰动源于势能中 $ n \geq 2 $ 的傅里叶模态。
• sine-Gordon呼吸子解可作为近似轨迹，给出周期性运动，其弹跳时间 $ \tau_m = \frac{\pi \sqrt{1+p^2}}{2\sqrt{2}p} $。
• 非解析扰动导致在 $ \psi = 2k\pi $ 处有效势能的导数出现不连续性，而标准sine-Gordon模型中不存在此类现象。
• 尽管形式相似，物理动力学存在显著差异：原系统具有具有锐边的紧凑子，而sine-Gordon近似给出具有指数尾部的孤子。