[论文解读] Chain Recurrence For General Spaces

Ethan Akin, Jim Wiseman|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文将链递归理论扩展至一般的拓扑空间与关系，将Conley和Aubry-Mather的链关系从度量空间推广至非度量空间。通过使用障碍函数、李雅普诺夫函数和正规映射，建立了基础理论，证明了在正规动力系统下链关系是闭集且不变的，并在一致空间和k-空间中获得了紧致性与连续性的关键结果。

ABSTRACT

The chain relation, due to Conley, and the strong chain relation, due to Easton, are well studied for continuous maps on compact metric spaces. Following Fathi and Pageault, we use barrier functions to generalize the theory to general relations on uniform spaces. In developing the theory, we indicate why the chain ideas are naturally uniform spaces concepts. We illustrate that the extension to relations is easy and is useful even for the study of the continuous map case.

研究动机与目标

• 将Conley和Aubry-Mather链关系的概念从度量空间推广至一般拓ological空间与关系。
• 利用关系与一致结构，在非度量、非紧致设定下建立链递归的理论基础。
• 研究在正规映射与紧化下链关系的拓扑与动力性质。
• 阐明障碍函数与李雅普诺夫函数在一般空间中刻画链递归的作用。
• 证明在k-空间与一致空间中，链关系在正规动力下是闭集且不变的。

提出的方法

• 通过使用伪度量定义ε-链与强ε-链，将链递归扩展至拓扑空间上的关系。
• 将Conley链关系 $\mathcal{C}f$ 定义为所有满足对任意 $\epsilon > 0$ 存在从 $x$ 到 $y$ 的ε-链的点对 $(x,y)$ 的集合；将Aubry-Mather关系 $\mathcal{A}_d f$ 定义为使用强ε-链的集合。
• 利用障碍函数 $M_d^f(x,y)$ 与李雅普诺夫函数 $L_d^f(x,y)$，将链关系表征为存在链的最小ε值的下确界。
• 应用正规映射与紧化理论，确保在Tychonoff空间与k-空间中链关系的闭性与不变性。
• 采用网与有向集处理一般拓扑空间中的收敛与聚点。
• 利用一致空间结构推广基于度量的结果，尤其关注链关系的闭性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Conley与Aubry-Mather链关系从度量空间推广至任意拓扑空间与关系？
• RQ2 在何种条件下，链关系 $\mathcal{C}f$ 与 $\mathcal{A}_d f$ 在一般拓扑空间中是闭集？
• RQ3 在何种条件下，链关系在正规动力下保持不变？
• RQ4 障碍函数与李雅普诺夫函数如何刻画非度量设定下的链递归？
• RQ5 紧致性与正规映射在确保链关系拓扑闭包中的作用是什么？

主要发现

• Conley链关系 $\mathcal{C}f$ 与度量的选择无关，而Aubry-Mather关系 $\mathcal{A}_d f$ 依赖于伪度量 $d$。
• 当 $f$ 是Tychonoff空间上的正规映射时，$\mathcal{C}f$ 在 $X \times X$ 中是闭集，且在相同条件下 $\mathcal{A}_d f$ 也是闭集。
• 若 $f$ 是Tychonoff空间上的正规映射，则 $\mathcal{C}f$ 是 $f$-不变的，即 $f(\mathcal{C}f) \subset \mathcal{C}f$。
• 在Tychonoff空间上，若 $f$ 是正规映射，则链关系 $\mathcal{C}f$ 与 $\mathcal{A}_d f$ 在 $X \times X$ 中是闭集。
• 在k-空间中，若 $f$ 是正规映射且 $B \subset Y$ 是紧集，则 $f^{-1}(B)$ 是紧集，从而保证紧集的原像是紧集。
• 正规映射的复合仍是正规映射，且正规映射保持原像中的紧致性，这对证明链关系的闭性至关重要。