[论文解读] Champs d'holonomie markoviens planaires: Un premier pas vers la caractérisation des champs d'holonomie markoviens

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文引入了平面马尔可夫霍尔诺米场——以平面路径为指标、取值于紧致李群的随机过程——并证明其在面积保测同胚和辫群作用下保持不变。通过提出一种新颖的、针对无限随机序列的辫对称 de Finetti 型定理，作者构造了平面杨-米尔斯场，并证明所有正则平面马尔可夫霍尔诺米场均等价于这些杨-米尔斯场，通过配分函数与分解测度完全刻画了其球面对部分。

ABSTRACT

We study planar random holonomy fields which are processes indexed by paths on the plane which behave well under the concatenation and orientation-reversing operations on paths. We define the Planar Markovian Holonomy Fields as planar random holonomy fields which satisfy some independence and invariance by area-preserving homeomorphisms properties. We use the theory of braids in the framework of classical probabilities: for finite and infinite random sequences the notion of invariance by braids is defined and we prove a new version of the de-Finetti's Theorem. This allows us to construct a family of Planar Markovian Holonomy Fields, the Yang-Mills fields, and we prove that any regular Planar Markovian Holonomy Field is a planar Yang-Mills field. This family of planar Yang-Mills fields can be partitioned into three categories according to the degree of symmetry: we study some equivalent conditions in order to classify them. Finally, we recall the notion of Markovian Holonomy Fields and construct a bridge between the planar and non-planar theories. Using the results previously proved in the article, we compute, for any Markovian Holonomy Field, the "law" of any family of contractible loops drawn on a surface.

研究动机与目标

• 定义并研究平面马尔可夫霍尔诺米场，作为取值于紧致李群的平面路径上的随机过程。
• 建立辫群作用下的对称性，进而导出无限随机序列的新型 de Finetti 型定理。
• 通过构造和刻画平面杨-米尔斯场，将其作为此类霍尔诺米场的典范类。
• 证明每个正则平面马尔可夫霍尔诺米场均等价于一个平面杨-米尔斯场，从而通过对称性与配分函数完成对其分类。
• 利用测度分解与配分函数恒等式，计算任意正则马尔可夫霍尔诺米场的球面对部分。

提出的方法

• 通过路径乘法函数上的公理化结构引入平面马尔可夫霍尔诺米场，满足连接、方向反转及面积保测同胚下的不变性。
• 利用辫群作为带洞圆盘的微分同胚群，定义辫对称性，将其与平面上的随机过程联系起来。
• 为取值于群中的无限随机变量序列发展一种辫对称 de Finetti 定理，将经典可交换性推广至辫对称性。
• 通过霍尔诺米配置上扰动均匀测度的离散极限构造平面杨-米尔斯场，使用 Lévy 过程作为曲率噪声。
• 应用公理 A3、A5 和 A6，通过限制到子区域并利用配分函数，实现曲面上测度的分解。
• 通过相对于边界霍尔诺米的测度分解计算场的球面对部分，利用配分函数恒等式证明 HF 与 YM 测度相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面路径上取值于紧致李群的随机过程，其成为平面马尔可夫霍尔诺米场的充要条件是什么？
• RQ2 辫对称性如何约束无限群元素序列的分布律？这是否可导出一种新型 de Finetti 型定理？
• RQ3 所有正则平面马尔可夫霍尔诺米场是否均可与平面杨-米尔斯场等同？若可，需满足何种对称性条件？
• RQ4 正则马尔可夫霍尔诺米场的球面对的精确结构是什么？其与配分函数有何关联？
• RQ5 平面上自由边界条件下的期望如何与连续及离散平面杨-米尔斯场相关联？

主要发现

• 所有正则平面马尔可夫霍尔诺米场均等价于平面杨-米尔斯场，通过对称性与随机连续性实现了完全分类。
• 任意正则马尔可夫霍尔诺米场的球面对部分通过相对于边界霍尔诺米的测度分解被完全刻画，从而在边界上实现 HF 与 YM 测度的相等。
• HF 与 YM 场的配分函数完全相同，这使得可通过相同的 Z+2,0,s 函数识别受限路径配置上的测度。
• 对于任意具有面积测度 vol 的圆盘形曲面 M，自由边界条件期望 EHF_M,vol 等于纯连续平面杨-米尔斯场 EY_vol，证明了离散与连续极限之间的一致性。
• 几乎必然地，对所有 x，有 c_HF(M,vol,∅,{∂M→[x]}) = d_YM(M,vol,∅,{∂M→[x]}) 成立；由连续性与不变性，该等式处处成立，从而证明了测度的完全等价。
• 正则马尔可夫霍尔诺米场的球面对被计算为群上的加权积分，权重由配分函数与边界霍尔诺米密度给出，从而确认了 YM 测度的结构。