[论文解读] Chance-Constrained Combinatorial Optimization with a Probability Oracle and Its Application to Probabilistic Partial Set Covering

Hao-Hsiang Wu, Si̇mge Küçükyavuz|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 35被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖的算法，用于机会约束组合优化，利用概率预言机（probability oracle）增强基于采样的方法中的可行性割平面。通过使用系数强化预言机（κ=2）加强无好解割平面，该方法显著减少了求解时间和所需割平面数量，从而实现了在最多90个节点的线性阈值模型下对概率部分集合覆盖问题的高效精确求解。

ABSTRACT

We investigate a class of chance-constrained combinatorial optimization problems. Given a pre-specified risk level $ε\in [0,1]$, the chance-constrained program aims to find the minimum cost selection of a vector of binary decisions $x$ such that a desirable event $\mathcal{B}(x)$ occurs with probability at least $ 1-ε$. In this paper, we assume that we have an oracle that computes $\mathbb P( \mathcal{B}(x))$ exactly. Using this oracle, we propose a general exact method for solving the chance-constrained problem. In addition, we show that if the chance-constrained program is solved approximately by a sampling-based approach, then the oracle can be used as a tool for checking and fixing the feasibility of the optimal solution given by this approach. We demonstrate the effectiveness of our proposed methods on a variant of the probabilistic set covering problem (PSC), which admits an efficient probability oracle. We give a compact mixed-integer program that solves PSC optimally (without sampling) for a special case. For large-scale instances for which the exact methods exhibit slow convergence, we propose a sampling-based approach that exploits the special structure of PSC. In particular, we introduce a new class of facet-defining inequalities for a submodular substructure of PSC, and show that a sampling-based algorithm coupled with the probability oracle solves the large-scale test instances effectively.

研究动机与目标

• 为解决在不确定性条件下求解机会约束组合优化问题的计算挑战。
• 开发一种基于采样的算法，以高效处理具有覆盖率机会约束的概率部分集合覆盖（PPSC）问题。
• 设计一种概率预言机，通过动态规划检查并强化可行性割平面，以改善收敛性。
• 证明系数强化的割平面（κ=2）在求解时间和割平面数量上显著优于传统无好解割平面。
• 通过利用子模结构，为线性阈值模型下的PPSC问题提供紧凑的MIP公式。

提出的方法

• 提出两阶段算法：第一阶段为Benders分解，结合子模不等式和有效不等式；第二阶段为预言机阶段，利用动态规划验证解在真实分布下的可行性。
• 基于动态规划构建概率预言机，用于检查解在真实分布下是否可行，而不仅限于采样场景。
• 使用系数强化的无好解割平面（公式5，κ=2）以增强主问题中可行性割平面的强度。
• 通过投影出辅助变量并利用子模覆盖函数，推导出线性阈值模型下PPSC的紧凑MIP公式（31）。
• 采用Kempe等人[13]提出的活弧图场景生成方法，生成保留覆盖函数子模结构的场景。
• 使用确定性等价公式（11），并与增强预言机的基于采样的延迟约束生成（DCG）方法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 概率预言机是否能显著减少基于采样算法在机会约束组合优化中的可行性割平面数量和求解时间？
• RQ2 可行性割平面的系数强化（κ=2与κ=1）对PPSC实例的算法性能有何影响？
• RQ3 能否通过利用子模结构，为线性阈值模型下的PPSC问题推导出紧凑的MIP公式？
• RQ4 更强的可行性割平面是否能带来更快的收敛速度和更好的可扩展性，尤其在更大规模网络中？
• RQ5 基于预言机的方法是否能可靠地识别样本近似中的不可行解，并有效引导割平面生成？

主要发现

• 使用系数强化割平面（κ=2）后，单位成本实例中|V|=60时求解时间从超过时间限制降至六分钟以内，|V|=90时降至二十分钟以内。
• 传统无好解割平面（κ=1）在时间限制内无法求解任何实例，而κ=2成功求解了所有测试实例。
• 在线性阈值模型中，当X̄=∅时，子模不等式（14）已足够捕捉覆盖函数，从而导出紧凑的MIP公式（31）。
• 所提出的基于预言机的方法成功识别出样本近似中的不可行解，并有效引导了割平面的添加，从而改善了收敛性。
• 结合预言机阶段的确定性等价公式（11）优于标准基于采样的方法，尤其在使用强化割平面时表现更优。
• 紧凑的MIP公式（31）与完整公式（11）在线性阈值模型下等价，使得标准MIP求解器可实现精确求解。