[论文解读] Chance Constrained Mixed Integer Program: Bilinear and Linear Formulations, and Benders Decomposition

Bo Zeng, Yu An+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Optimization and Mathematical Programming参考文献 38被引用 38

一句话总结

本文提出了一种针对有限离散场景下机会约束混合整数规划（CC-MIP）的新型双线性混合整数规划公式，推导出更强的线性对等式，并开发了一种结合Jensen不等式变体与结构割的双线性Benders分解方法。该方法在求解或检测CC-MIP的不可行性方面，相比商业求解器性能提升了一个数量级。

ABSTRACT

In this paper, we study chance constrained mixed integer program with consideration of recourse decisions and their incurred cost, developed on a finite discrete scenario set. Through studying a non-traditional bilinear mixed integer formulation, we derive its linear counterparts and show that they could be stronger than existing linear formulations. We also develop a variant of Jensen's inequality that extends the one for stochastic program. To solve this challenging problem, we present a variant of Benders decomposition method in bilinear form, which actually provides an easy-to-use algorithm framework for further improvements, along with a few enhancement strategies based on structural properties or Jensen's inequality. Computational study shows that the presented Benders decomposition method, jointly with appropriate enhancement techniques, outperforms a commercial solver by an order of magnitude on solving chance constrained program or detecting its infeasibility.

研究动机与目标

• 解决具有有限场景集的机会约束混合整数规划（CC-MIP）的计算挑战。
• 通过从一种非传统双线性公式推导线性对等式，开发出强于现有big-M方法的更强线性公式。
• 将Jensen不等式推广至机会约束规划，以支持有效不等式与约束紧缩。
• 设计一种利用结构特性与增强割线的双线性Benders分解变体，以提升性能。
• 证明所提出的Benders框架具有鲁棒性、通用性，并显著快于当前最先进的商业求解器。

提出的方法

• 提出一种用于CC-MIP的双线性混合整数规划公式，其中二元变量表示场景违规情况，双线性项将第一阶段决策与场景特定约束相连接。
• 通过利用机会约束的结构，推导出双线性公式的线性重写形式，其证明强于标准big-M公式。
• 提出一种专用于机会约束规划的Jensen不等式变体，以实现对期望后继成本的更紧边界。
• 开发一种双线性Benders分解算法，将问题分解为一个主问题（第一阶段决策）和子问题（场景特定的可行性与最优性割线）。
• 集成增强策略：(1) 基于不可约不可行子系统（IIS）的有效不等式，(2) 来自混合集结构的强割线，(3) 基于Jensen的割线以紧缩主问题。
• 实现一种热启动策略与自适应割线生成机制，以加速Benders框架中的收敛速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 针对CC-MIP，非传统双线性公式是否能产生强于现有big-M公式的更强线性松弛？
• RQ2 Jensen不等式如何推广以支持具有后继决策的机会约束规划中的有效不等式？
• RQ3 能否设计一种双线性Benders分解框架，以在无严格假设条件下有效求解通用CC-MIP？
• RQ4 IIS割线、混合集不等式与Jensen基割线等增强技术在多大程度上提升了Benders分解在CC-MIP上的性能？
• RQ5 所提出的Benders方法在求解或证明CC-MIP实例的不可行性方面，是否显著优于商业求解器？

主要发现

• 从双线性表示推导出的线性公式强于标准big-M公式，导致更紧的对偶间隙与更快的收敛速度。
• 结合增强策略的所提双线性Benders分解方法，平均比商业求解器（CPLEX）快10倍以上求解CC-MIP实例。
• 在不可行性检测方面，该方法将平均求解时间从CPLEX的2000秒以上降低至400秒以下。
• Jensen不等式变体的集成显著紧缩了对期望后继成本的边界，部分实例中使最优性间隙减少高达70%。
• 结合IIS与混合集割线的Benders框架显著减少了迭代次数与最优性间隙，尤其在高风险（大ε）场景中表现突出。
• 在所有测试实例中，使用最先进变体（BD1RJ）时，该方法的平均间隙为1.94%，而CPLEX为40.2%，充分证明了其在解质量与速度上的卓越表现。