[论文解读] Chance-constrained optimization with tight confidence bounds

Mark Cannon|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文提出了一种用于机会约束优化的随机样本丢弃策略，相较于先前方法，该策略在解的可行性上实现了更紧的置信区间。通过使用独立采样和经验违规测试，该方法实现了具有精确后验置信区间的重复场景方法，适用于某一类问题，并显著提升了确定性丢弃策略的近似精度。

ABSTRACT

Convex sample approximations of chance-constrained optimization problems are considered, in which chance constraints are replaced by sets of sampled constraints. We propose a randomized sample selection strategy that allows tight bounds to be derived on the probability that the solution of the sample approximation is feasible for the original chance constraints when a subset of the sampled constraints is discarded. These confidence bounds are shown to be tighter than the bounds that apply if constraints are discarded according to optimal or greedy discarding strategies. We further show that the same confidence bounds apply to solutions that are obtained from a two stage process in which a sample approximation of a chance-constrained problem is solved, then an empirical measure of the violation probability of the solution is obtained by counting the number of violations of an additional set of sampled constraints. We use this result to design a repetitive scenario approach that meets required tolerances on violation probability given any specified a priori and a posteriori probabilities. These bounds are tighter than confidence bounds available for previously proposed repetitive scenario approaches, and we show that the posterior bounds are exact for a particular problem subclass. The approach is illustrated through numerical examples, and extensions to problems involving multiple chance constraints are discussed.

研究动机与目标

• 为解决现有场景方法在处理具有不可忽略违规概率的机会约束时难以实现高精度近似的局限性。
• 开发一种随机样本选择策略，使其在解的可行性上产生的先验和后验置信区间比最优或贪心丢弃方法更紧。
• 设计一种重复场景方法，使其在违规概率的指定容差范围内具有改进的置信区间。
• 证明所提出的置信区间对于某一特定问题子类是精确的，从而提升可靠性与精度。

提出的方法

• 提出一种随机样本丢弃策略，其中约束条件通过随机选择而非通过确定性优化或启发式方法进行丢弃。
• 利用二项分布和贝塔分布的组合性质，推导出解满足原始机会约束的概率的紧致置信区间。
• 引入两阶段过程：首先求解采样问题，然后在独立样本集上评估违规概率，以获得经验后验置信区间。
• 通过迭代采样、求解和测试，应用重复场景方法，使用独立多组样本以细化置信区间。
• 使用贝塔分布和不完全正则化不完全贝塔函数表达置信区间，从而为特定问题子类提供精确的后验置信区间。
• 结合贝他不等式和全概率定律，将先验与后验置信区间统一为一个保守但紧致的整体置信估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在机会约束优化中，随机样本丢弃策略是否能产生比确定性或贪心丢弃策略更紧的解可行性置信区间？
• RQ2 如何设计一种重复场景方法，使其在违规概率的容许范围内实现改进的置信区间？
• RQ3 所提出的置信区间是否对任何特定的机会约束问题子类是精确的？
• RQ4 通过使用独立验证样本，能否使后验置信区间变得非保守且比先前方法更紧？
• RQ5 样本大小和随机化对解可行性保证的精度与可靠性有何影响？

主要发现

• 所提出的随机丢弃策略产生的置信区间比最优或贪心丢弃策略更紧，从而提高了近似精度。
• 所推导的置信区间在意义上是紧致的，即在不引入额外问题特定信息的前提下无法进一步改进。
• 对于某一特定问题子类，后验置信区间是精确的，意味着其与真实的违规概率分布完全匹配。
• 重复场景方法实现了比先前工作更紧的先验置信区间，其中公式 (4.3) 的边界被显式推导并验证。
• 在证明精确性的特定问题子类中，后验置信区间（公式 4.1）是非保守的，展示了更高的可靠性。
• 数值示例展示了该方法的有效性，同时讨论了多机会约束的扩展，表明其具备可扩展性和鲁棒性。