[论文解读] Chance-constrained quasi-convex optimization with application to data-driven switched systems control

Guillaume O. Berger, Raphaël M. Jungers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2021

Risk and Portfolio Optimization被引用 6

一句话总结

本文提出机会约束拟线性优化（chance-constrained quasi-linear optimization），一种将机会约束凸优化扩展至拟凸问题子类的框架。该文证明了存在一个有界的基本约束集，可保持最优性，从而在数据驱动控制中实现概率保证。主要贡献是提出一种样本高效的方法，仅通过采样轨迹即可计算黑箱切换线性系统的联合谱半径（JSR）的概率上界与下界。

ABSTRACT

We study quasi-convex optimization problems, where only a subset of the constraints can be sampled, and yet one would like a probabilistic guarantee on the obtained solution with respect to the initial (unknown) optimization problem. Even though our results are partly applicable to general quasi-convex problems, in this work we introduce and study a particular subclass, which we call "quasi-linear problems". We provide optimality conditions for these problems. Thriving on this, we extend the approach of chance-constrained convex optimization to quasi-linear optimization problems. Finally, we show that this approach is useful for the stability analysis of black-box switched linear systems, from a finite set of sampled trajectories. It allows us to compute probabilistic upper bounds on the JSR of a large class of switched linear systems.

研究动机与目标

• 解决在仅能采样部分约束条件下进行不确定性优化的挑战，特别是在数据驱动控制场景中。
• 为机会约束优化构建一个针对拟凸问题的理论框架，聚焦于一种新子类——‘拟线性问题’。
• 即使仅采样有限数量的约束，仍能提供解质量的概率保证，确保对未知系统行为的鲁棒性。
• 展示该框架在黑箱切换线性系统稳定性分析中的实用性，其中系统动态未知但可观察轨迹。
• 弥合数据驱动与基于模型控制之间的差距，实现对复杂混合系统高效且具有概率保证的分析。

提出的方法

• 将‘拟线性问题’定义为拟凸优化的一个子类，其约束函数在决策变量上线性，且在参数向量上为拟凸。
• 证明存在一个具有有界基数的基本约束集，其最优解与完整约束集相同，相较于先前结果，提供了更紧的界并放宽了假设条件。
• 利用拟线性问题的结构，将原本专为凸问题设计的机会约束优化技术扩展至这一非凸但结构清晰的类别。
• 通过将联合谱半径（JSR）计算表述为拟线性优化问题，将该框架应用于切换线性系统的稳定性分析。
• 利用采样系统轨迹生成表示系统行为的线性不等式，然后应用机会约束优化计算JSR的概率边界。
• 引入一个使用正交矩阵的投影步骤，以保持单位球面上的均匀采样，确保采样约束的统计有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 机会约束优化能否从凸问题推广至拟凸问题，特别是在数据驱动控制背景下？
• RQ2 拟凸问题的何种结构特性使得存在一个有限且有界的本质约束集，且能保持最优性？
• RQ3 当仅采样有限数量的约束时，如何建立优化解的概率保证？
• RQ4 该框架能否有效应用于未知动态的切换线性系统的稳定性分析？
• RQ5 与现有数据驱动方法相比，所提方法在JSR估计中的样本效率如何？

主要发现

• 本文证明，对于拟线性问题，存在一个基本约束集，其基数至多为 $ n $，其中 $ n $ 为决策变量的维数，该集合可产生与完整约束集相同的最优解。
• 该基本约束集大小的界优于先前结果，其优势在于消除了对‘持续缩小’约束的假设，并提供了更紧的界。
• 所提方法仅通过有限数量的采样轨迹，即可计算切换线性系统联合谱半径（JSR）的概率上界与下界。
• 在数值实验中，所提边界的收敛速度优于Kenanian等人（2019）的方法，在相同置信水平（$ eta = 0.05 $）下使用更少的样本。
• 该框架适用于现实世界的数据驱动控制问题，如多智能体网络中的一致性问题，其中系统矩阵未知但状态轨迹可观测。
• 该方法具有可扩展性，可推广至其他控制问题，例如用采样线性不等式替代LMI约束，将SDP转化为适合机会约束优化的拟线性规划。