[论文解读] Chance constrained sets approximation: A probabilistic scaling approach -- EXTENDED VERSION

Martina Mammarella, Victor Mirasierra+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2021

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文提出一种概率缩放方法，通过可控复杂度的简单近似集（SAS）来近似机会约束集。通过结合基于样本的SAS构建与概率缩放过程，该方法可高置信度地保证所需的违反概率，从而实现联合机会约束下随机模型预测控制和概率集成员估计的高效求解。

ABSTRACT

In this paper, a sample-based procedure for obtaining simple and computable approximations of chance-constrained sets is proposed. The procedure allows to control the complexity of the approximating set, by defining families of simple-approximating sets of given complexity. A probabilistic scaling procedure then allows to rescale these sets to obtain the desired probabilistic guarantees. The proposed approach is shown to be applicable in several problem in systems and control, such as the design of Stochastic Model Predictive Control schemes or the solution of probabilistic set membership estimation problems.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的近似机会约束集的方法，同时确保概率可行性保证。
• 通过预定义的简单近似集（SAS）族，实现对近似集复杂度的控制。
• 将基于样本的近似技术扩展至处理联合机会约束，其相较于单个约束更具现实性但更复杂。
• 提供一个统一框架，适用于随机模型预测控制（SMPC）和概率集成员估计。
• 对所提出的缩放过程进行数学分析，并严格证明其概率保证。

提出的方法

• 该方法采用两步流程：首先，从采样数据中构建给定复杂度的简单近似集（SAS）。
• 其次，应用概率缩放过程对SAS进行重缩放，以确保以高置信度满足期望的违反概率。
• 该方法利用顺序统计量和二项尾部界限，确定能保证概率可行性的最小缩放因子。
• 支持两类SAS：采样多面体和基于范数的集合，包括广义范数以增强适用性。
• 该方法基于统计学习和顺序统计的理论结果，确保有限样本下的概率保证。
• 缩放因子被计算为样本可行性度量中第(r+1)个最小值，其中r为允许的约束违反次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个计算可处理的内近似集，以保证机会约束集的概率可行性？
• RQ2 在不确定性存在的情况下，为确保以高置信度实现期望的违反概率，所需的最小样本量是多少？
• RQ3 如何在不牺牲概率保证的前提下控制近似集的复杂度？
• RQ4 所提出的方法能否扩展以处理联合机会约束，即需同时满足多个约束的情况？
• RQ5 概率缩放过程如何确保缩放后的集合仍为原始机会约束集的有效内近似？

主要发现

• 所提方法保证约束违反概率以至少1−δ的置信度被控制在ε以内，样本量N取决于ε、δ及问题复杂度。
• 通过选择低复杂度的SAS（如采样多面体或基于范数的集合），显著降低了样本复杂度，简化了优化与缩放步骤。
• 通过将整个约束集视为单一布尔函数，该方法实现了对联合机会约束的概率保证，从而可应用于更具现实性的控制与估计问题。
• 缩放因子被确定为可行性度量的第(r+1)个顺序统计量，确保以高概率最多有r个样本违反缩放后的集合。
• 理论分析证实，即使在非高斯和非参数化不确定性分布下，该方法仍能以高置信度保持可行性。
• 数值验证表明，该方法在概率集成员估计中具有有效性，能在不确定性下实现准确且鲁棒的识别。