[论文解读] Chang Palais-Smale condition and global inversion

Olivia Gutú|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文为实Banach空间之间局部$C^1$-微分同胚$f: X \to Y$成为全局$C^1$-微分同胚建立了充分条件：若泛函$x \mapsto \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$对所有$y \in Y$满足Chang-Palais-Smale条件，则$f$为范数强制且全局可逆。该结果通过变分方法将Palais-Smale条件与全局可逆性联系起来，推广了经典的全局反函数定理。

ABSTRACT

Let f be local diffeomorphism between real Banach spaces. We prove that if the locally Lipschitz functional F(x)=1/2|f(x)-y|^2 satisfies the Chang Palais-Smale condition for all y in the target space of f, then f is a norm-coercive global diffeomorphism. We also give a version of this fact for a weighted Chang Palais-Smale condition. Finally, we study the relationship of this criterion to some classical global inversion conditions.

研究动机与目标

• 建立实Banach空间之间局部$C^1$-微分同胚成为全局$C^1$-微分同胚的充分条件。
• 通过在由$f$导出的特定泛函上应用Palais-Smale条件，推广经典Banach-Mazur-Caccioppoli定理。
• 阐明Palais-Smale条件与其它经典全局反函数准则（如Hadamard-Levy-Plastock条件和Katriel条件）之间的关系。
• 引入并分析无限维情形下非光滑泛函的加权Chang-Palais-Smale条件。

提出的方法

• 对每个$y \in Y$，定义泛函$F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$，当$Y$为Hilbert空间时，该泛函为局部Lipschitz且$C^1$-光滑。
• 将Chang-Palais-Smale条件应用于$F_y$，要求任意满足$F_y(x_n)$有界且$\|\nabla F_y(x_n)\| \to 0$的序列具有收敛子列。
• 提出Chang-Palais-Smale条件的加权版本，推广Motreanu等人关于非光滑泛函的结果。
• 利用Ekeland变分原理和山路型论证，从Palais-Smale条件推导出$f$的单射性与满射性。
• 将该条件与经典准则关联：证明Hadamard-Levy-Plastock条件蕴含加权Chang-Palais-Smale条件（对某类权重）。
• 证明$F_y$上的Palais-Smale条件蕴含$f$的范数强制性与全局可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，实Banach空间之间的局部$C^1$-微分同胚为全局$C^1$-微分同胚？
• RQ2 Chang-Palais-Smale条件在泛函$F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$上如何确保$f$的全局可逆性？
• RQ3 Palais-Smale条件与经典全局反函数定理（如Banach-Mazur-Caccioppoli、Hadamard-Levy-Plastock和Katriel定理）之间有何关系？
• RQ4 能否通过加权形式推广Palais-Smale条件，使其适用于更广泛的无限维情形？
• RQ5 条件$\inf_{|x|\leq \rho}\|df(x)^{-1}\|^{-1} \to \infty$当$\rho \to \infty$时，是否足以使泛函$F_y$满足加权Chang-Palais-Smale条件？

主要发现

• 若泛函$F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$对所有$y \in Y$满足Chang-Palais-Smale条件，则$f$为范数强制的全局$C^1$-微分同胚。
• 加权Chang-Palais-Smale条件推广了标准条件，适用于Banach空间中的局部Lipschitz泛函。
• Hadamard-Levy-Plastock条件$\int_0^\infty \inf_{|x|\leq \rho} \|df(x)^{-1}\|^{-1} d\rho = \infty$蕴含对某类权重的加权Chang-Palais-Smale条件。
• Katriel条件——即对所有$\varrho > 0$，有$\inf_{|f(x)-y|<\varrho} \text{Sur}(f,x) > 0$——蕴含$F_y$的Chang-Palais-Smale条件。
• 在有限维情形下，条件$\star\star)$、$4)$、$5)$、$\star)$和$6)$全部等价，且均蕴含全局微分同胚。
• 若$F_y$满足Chang-Palais-Smale条件，则沿满足$f(x_n) \to y$的序列，$\text{Sur}(f,x_n) \to 0$的情况被排除，从而确保全局可逆性。