[论文解读] Change of numeraire in the two-marginals martingale transport problem

Luciano Campi, Ismail Laachir+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文将货币单位变换技术引入正局部鞅的两极际鞅最优传输问题，表明该变换可互换类型 I 和类型 II 的前瞻执行价差期权，从而导致两者具有相同的最优传输计划。此外，研究进一步证明，在货币单位变换下，右单调传输计划是左单调计划的镜像耦合，统一了在模型不确定性下的稳健对冲构造方法。

ABSTRACT

In this paper we apply change of numeraire techniques to the optimal transport approach for computing model-free prices of derivatives in a two periods model. In particular, we consider the optimal transport plan constructed in \cite{HobsonKlimmek2013} as well as the one introduced in \cite{BeiglJuil} and further studied in \cite{BrenierMartingale}. We show that, in the case of positive martingales, a suitable change of numeraire applied to \cite{HobsonKlimmek2013} exchanges forward start straddles of type I and type II, so that the optimal transport plan in the subhedging problems is the same for both types of options. Moreover, for \cite{BrenierMartingale}'s construction, the right monotone transference plan can be viewed as a mirror coupling of its left counterpart under the change of numeraire. An application to stochastic volatility models is also provided.

研究动机与目标

• 将货币单位变换的应用扩展至模型不确定性下的模型无关定价中的最优传输问题。
• 分析在货币单位变换下，前瞻执行价差期权类型 I 与类型 II 之间的对称性。
• 证明 Hobson 和 Klimmek（2015）的最优传输计划可通过货币单位变换在两种价差期权类型间保持一致。
• 证明对于正局部鞅，右单调传输计划可通过货币单位变换作为左单调计划的镜像获得。
• 为对称随机波动率模型中构造最优传输计划提供统一框架。

提出的方法

• 将货币单位变换应用于具有正边际分布的两极际鞅传输问题。
• 利用货币单位变换关联前瞻执行价差期权类型 I（|Y/X - 1|）与类型 II（|X - Y|）的收益结构。
• 证明 Hobson-Klimmek 最优耦合在类型 I 与类型 II 价差期权之间的货币单位变换下保持不变。
• 推导出右单调传输计划可通过货币单位变换作为左单调计划的镜像耦合获得。
• 将该变换应用于对称对数正态边际分布，并在 Black-Scholes 模型与不相关随机波动率模型中验证其不变性。
• 运用对偶理论与广义 Spence-Mirrlees 条件分析货币单位变换下最优性不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两极际鞅传输问题中，货币单位变换如何影响前瞻执行价差期权类型 I 与类型 II 的最优传输计划？
• RQ2 对于正局部鞅，右单调传输计划是否可通过货币单位变换作为左单调计划的镜像获得？
• RQ3 Hobson 和 Klimmek（2015）的最优耦合在价差期权类型之间的货币单位变换下是否仍保持最优？
• RQ4 货币单位变换对最优传输中广义 Spence-Mirrlees 条件有何影响？
• RQ5 在哪些对称模型中（例如 Black-Scholes 模型、不相关随机波动率模型）货币单位变换保持不变？

主要发现

• 货币单位变换可互换前瞻执行价差期权类型 I 与类型 II，且在 Hobson-Klimmek 构造下，两者具有相同的最优传输计划。
• 由于货币单位不变性，两种价差期权类型的最优子复制价格由同一传输计划实现。
• 对于正局部鞅，货币单位变换下，右单调传输计划是左单调传输计划的镜像耦合。
• 广义 Spence-Mirrlees 条件在货币单位变换下保持不变，确保了最优性的一致性。
• 在 Black-Scholes 模型与不相关随机波动率等对称模型中，边际分布与最优传输计划在货币单位变换下保持不变。
• 数值模拟验证了对数正态边际分布下的对称性与不变性，支持了理论框架的正确性。