[论文解读] Changements de base explicites des représentations supercuspidales de U(1,1)(F)

Laure Blasco|ArXiv.org|Sep 18, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文显式计算了非阿基米德局部域 $F_0$ 上单位群 $U(1,1)(F_0)$ 的超临界表示的不稳定（易变）基变换，其中 $F_0$ 的特征为零且剩余特征为奇数。通过类型理论与显式特征标计算，本文确定了这些表示在基变换至 $GL(2,F)$ 时的转移方式，完成了理解 $U(2,1)(F_0)$ 的内丛基变换的关键一步，结果通过特征标恒等式与伽罗瓦不变性推导得出。

ABSTRACT

Let F be a nonarchimedean local field of characterisitic 0 and odd residual characteristic. We describe explicitly the two base change lifts of supercuspidal representations of U(1,1)(F). This represents a step towards the goal of describing base change of endoscopic supercuspidal L-packets of U(2,1)(F).

研究动机与目标

• 通过计算 $U(1,1)(F_0)$ 的不稳定基变换，完成对 $U(2,1)(F_0)$ 的内丛超临界包的基变换描述。
• 确定 $U(1,1)(F_0)$ 的超临界表示在基变换至 $GL(2,F)$（其中 $F$ 是 $F_0$ 的二次扩张）时的像。
• 解决在单元素内丛包中区分稳定与不稳定基变换像的模糊性。
• 在最小假设下（特征为零，剩余特征为奇数），通过特征标恒等式与类型理论，提供一种显式且可计算的基变换描述。
• 将先前关于 $U(2,1)$ 基变换的结果扩展至 $U(1,1)$ 情形，为完整内丛包转移奠定基础。

提出的方法

• 利用 Bushnell 与 Kutzko 发展的类型理论，对 $U(1,1)(F_0)$ 的超临界表示进行分类。
• 在紧开子群上应用显式特征标计算，以验证基变换恒等式，特别利用在层与稳定子上的迹公式。
• 采用 Y. Flicker 的方法计算稳定基变换，结合 J. Rogawski 关于特征标恒等式与内丛转移的结果。
• 依赖基变换与特征标扭变的相容性，将问题约化至最小深度的超临界表示。
• 利用内丛包的结构——单元素或二元集合——来区分情形，尤其在分歧与非分歧扩张设定下。
• 应用关于子群与伽罗瓦固定子群上特征标迹的技术引理，以比较 $U(1,1)(F_0)$ 与 $GL(2,F)$ 上的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 超临界表示在 $U(1,1)(F_0)$ 到 $GL(2,F)$ 的不稳定基变换映射行为如何？如何显式描述？
• RQ2 在单元素内丛包中，稳定与不稳定基变换像有何区别？
• RQ3 如何利用特征标恒等式验证 $U(1,1)(F_0)$ 与 $GL(2,F)$ 表示之间的基变换对应？
• RQ4 伽罗瓦作用在区分基变换像中起什么作用，特别是在零深度超临界表示中？
• RQ5 内丛包的结构（单元素 vs. 二元集合）如何影响基变换计算？

主要发现

• 通过特征标迹恒等式与类型理论，显式确定了 $U(1,1)(F_0)$ 的超临界表示到 $GL(2,F)$ 的不稳定基变换。
• 对于零深度超临界表示，其基变换像完全确定：当 $F$ 关于 $F_0$ 分歧时，除两个外其余均属于单元素内丛包；当 $F$ 非分歧时，所有均属于此类包。
• 基变换映射的像由 $GL(2,F)$ 的极小表示组成，且在 $G_{F/F_0}$ 作用下不变，中心特征标为平凡。
• 该方法成功区分了稳定与不稳定基变换像，尤其在单元素内丛包中，通过验证 $U(1,1)(F_0)$ 与 $GL(2,F)$ 之间的特征标恒等式实现。
• 计算依赖于一个关于子群上特征标迹的技术引理，该引理允许通过稳定子结构与群作用，比较 $U(1,1)$ 与 $GL(2)$ 上的表示。
• 结果在最小假设下成立：$F_0$ 的特征为零且剩余特征为奇数，无需进一步分歧限制。