[论文解读] Changing times to optimise reachability in temporal graphs

Jessica Enright, Kitty Meeks|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2018

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的时间图修改问题，通过为边分配时间标签以优化可达性——即最大化或最小化可到达节点的数量。研究建立了强有力的计算困难性结果，表明即使在严格约束条件下（如边类大小恒定和度数有界的图），该问题仍是NP完全的，且当以顶点覆盖数为参数时，问题为W[1]-完全。

ABSTRACT

Temporal graphs (in which edges are active only at specified time steps) are an increasingly important and popular model for a wide variety of natural and social phenomena. We propose a new extension of classical graph modification problems into the temporal setting, and describe several variations on a modification problem in which we assign times to edges so as to maximise or minimise reachability sets within a temporal graph. We give an assortment of complexity results on these problems, showing that they are hard under a variety of restrictions. In particular, if edges can be grouped into classes that must be assigned the same time, then our problem is hard even on directed acyclic graphs when both the reachability target and the classes of edges are of constant size, as well as on an extremely restrictive class of trees. We further show that one version of the problem is W[1]-hard when parameterised by the vertex cover number of the instance graph. In the case that each edge is active at a unique timestep, we identify some very restricted cases in which the problem is solvable in polynomial time; however, list versions of both problems (each edge may only be assigned times from a specified lists) remain NP-complete in this setting even if the graph is of bounded degree and the reachability target is a constant.

研究动机与目标

• 通过为边分配时间标签，将经典的图修改问题扩展到时间设定中。
• 研究通过边时间分配优化时间图中可达集合的复杂性。
• 确定在各种结构约束下，可达性最大化与最小化的计算边界。
• 分析当边被划分为需分配相同时间标签的类时，该问题的复杂性。
• 探讨受限输入格式（如列表约束和有界度数图）对可解性的影响。

提出的方法

• 提出时间图修改的正式模型，通过为边分配时间标签来影响可达性。
• 引入两种变体：一种用于最大化，另一种用于最小化可达节点集合的大小。
• 采用参数化复杂性分析，特别证明当以顶点覆盖数为参数时，问题为W[1]-难。
• 通过将已知的NP难问题归约，证明在受限设置下的困难性，包括有向无环图和边类大小恒定的树。
• 考虑基于列表的约束，即每条边只能从预定义的时间槽集合中分配时间。
• 分析在每条边在唯一时间步激活的特殊情况下，问题的多项式时间可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，时间图中可达性优化问题是计算上可解的？
• RQ2 当边被约束在预定义类中共享时间标签时，问题的复杂性如何变化？
• RQ3 当以实例图的顶点覆盖数为参数时，该问题的参数化复杂性如何？
• RQ4 当每条边具有唯一激活时间时，问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 即使在有界度数图下，时间分配的列表约束如何影响问题的复杂性？

主要发现

• 即使边类和可达性目标的大小为常数，且图是有向无环图，该问题仍是NP完全的。
• 该问题在高度受限的树类中仍为NP完全，表明即使在非常简单的拓扑结构中也存在困难性。
• 当以实例图的顶点覆盖数为参数时，该问题的一个变体为W[1]-难。
• 当每条边在唯一时间步激活时，在某些极受限制的条件下，该问题可在多项式时间内求解。
• 即使在有界度数图和常数可达性目标下，两种变体（最大化与最小化）的列表约束版本仍为NP完全。
• 结果表明，对边类和时间分配的结构限制不足以确保问题的可解性。