[论文解读] Chaos and integrability in SL(2,R)-geometry

Alexey V. Bolsinov, А. П. Веселов+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文研究了具有 $SL(2,\mathbb{R})$-几何结构的3-流形上的测地流，特别是商空间 $\mathcal{M}^3_\Gamma = \Gamma \backslash PSL(2,\mathbb{R})$，其中 $\Gamma$ 是一个富克斯群。研究证明，相空间 $T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$ 包含两个不同的开区域：一个为可积动力学区域（拓扑熵为零），另一个为混沌动力学区域（拓扑熵为正）。关键结果是，在模形式3-流形（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）中，周期测地线在可积极限下对应于双叶结的缆绳纽结，在混沌区域则对应于洛伦兹型纽结。

ABSTRACT

The integrability of the geodesic flow on the three-folds $\mathcal M^3$ admitting $SL(2,\mathbb R)$-geometry in Thurston's sense is investigated. The main examples are the quotients $\mathcal M^3_Γ=Γ\backslash PSL(2,\mathbb R)$, where $Γ\subset PSL(2,\mathbb R)$ is a cofinite Fuchsian group. We show that the corresponding phase space $T^*M_Γ^3$ contains two open regions with integrable and chaotic behaviour with zero and positive topological entropy respectively. As a concrete example we consider the case of modular 3-fold with the modular group $Γ=PSL({2,\mathbb Z})$, when $\mathcal M^3_Γ$ is known to be homeomorphic to the complement of a trefoil knot $\mathcal K$ in 3-sphere. Ghys proved a remarkable fact that the lifts of the periodic geodesics to the modular surface to $\mathcal M^3_Γ$ produce the same isotopy class of knots, which appeared in the chaotic version of the celebrated Lorenz system and were extensively studied by Birman and Williams. We show that in the integrable limit of the geodesic system on $\mathcal M^3_Γ$ they are replaced by the simple class of cable knots of trefoil.

研究动机与目标

• 研究具有 $SL(2,\mathbb{R})$-几何结构的3-流形上测地流的可积性与混沌行为，特别在瑟斯顿几何化纲领的背景下。
• 分析商空间 $\mathcal{M}^3_\Gamma = \Gamma \backslash PSL(2,\mathbb{R})$ 上测地流的相空间结构，其中 $\Gamma$ 为余有限富克斯群。
• 阐明相空间中可积与混沌区域之间的拓扑与动力学差异，尤其与纽结不变量的关系。
• 探索周期测地线与纽结类型之间的对应关系，特别是在 $\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$ 的模形式3-流形情形。
• 考察可积性存在的拓扑障碍，特别是结合泰曼诺夫与迪那伯格关于基本群与熵的定理，探讨其影响。

提出的方法

• 在 $PSL(2,\mathbb{R})$ 上使用左不变的、自然约化度量，参数化为 $\alpha > 0 > \beta$，其中 Sasaki 度量为特例（$\alpha = -\beta = 2$）。
• 通过李代数 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 的 Cartan 分解，将其划分为对称与反对称部分，以定义度量结构。
• 通过角速度 $\Omega = g^{-1}\dot{g} \in \mathfrak{g}$ 分析测地流，将动力学简化为余切丛 $T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$ 上的系统。
• 利用单位切丛结构 $\mathcal{M}^3 = S\mathcal{M}^2_\Gamma$，将测地动力学与底面曲面 $\mathcal{M}^2_\Gamma = \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$ 的几何联系起来。
• 使用基本群与第一同调群等拓扑不变量评估可积性的障碍，应用泰曼诺夫与巴特勒的研究成果。
• 通过将周期测地线提升至万有覆盖并识别其同伦类，将周期测地线与纽结理论联系起来，尤其在模形式情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于余有限富克斯群 $\Gamma$，相空间 $T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$ 的结构如何？可积与混沌区域如何共存？
• RQ2 在模形式3-流形 $\mathcal{M}^3_\Gamma$（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）上，周期测地线如何与3维空间中的纽结类型相关联？
• RQ3 哪些拓扑约束会阻止 $SL(2,\mathbb{R})$-流形上存在解析可积的测地流？其与基本群的关系如何？
• RQ4 测地流在 $\mathcal{M}^3_\Gamma$ 上的可积与混沌行为之间的动力学转变如何体现？其在周期轨道的拓扑结构中如何反映？
• RQ5 周期测地线的纽结类型如何从可积极限下的双叶结缆绳纽结演化为混沌区域下的洛伦兹型纽结？

主要发现

• 对于余有限富克斯群 $\Gamma$，相空间 $T^*\mathcal{M}^3_\Gamma$ 包含两个开区域：一个具有可积动力学与零拓扑熵，另一个具有混沌动力学与正拓扑熵。
• 在模形式3-流形（$\Gamma = PSL(2,\mathbb{Z})$）中，可积极限下的周期测地线对应于双叶结的缆绳纽结。
• 在混沌区域，相同的周期测地线被提升为与洛伦兹系统中出现的纽结同伦等价，如 Ghys 与 Birman-Williams 所确立。
• 模形式3-流形的基本群不满足泰曼诺夫关于解析可积性的条件（$\dim H_1 > \dim M^3$），从而证实了不存在解析可积的测地流。
• 混沌区域中正拓扑熵的存在与迪那伯格定理一致，因为基本群具有指数增长。
• 结果表明存在一个光滑的 Liouville 可积系统，其具有正拓扑熵，扩展了此前在 $Sol$-几何情形下的例子，并凸显了纽结理论在分类周期轨道中的作用。