[论文解读] Chaos, Dirac observables and constraint quantization

Bianca Dittrich, Philipp A. Hoehn+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 97被引用 11

一句话总结

本文主张，全息广义相对论中的混沌破坏了可微Dirac可观测量与光滑约化相空间的存在，使标准量子化方法失效。本文提出凝聚态量子化——通过细化配置空间拓扑——作为解决方案，使广义可观测量恢复连续性，并在混沌系统中实现一致的量子理论。

ABSTRACT

There is good evidence that full general relativity is non-integrable or even chaotic. We point out the severe repercussions: differentiable Dirac observables and a reduced phase space do not exist in non-integrable constrained systems and are thus unlikely to occur in a generic general relativistic context. Instead, gauge invariant quantities generally become discontinuous, thus not admitting Poisson-algebraic structures and posing serious challenges to a quantization. Non-integrability also renders the paradigm of relational dynamics cumbersome, thereby straining common interpretations of the dynamics. We illustrate these conceptual and technical challenges with simple toy models. In particular, we exhibit reparametrization invariant models which fail to be integrable and, as a consequence, can either not be quantized with standard methods or lead to sick quantum theories without a semiclassical limit. These troubles are qualitatively distinct from semiclassical subtleties in unconstrained quantum chaos and can be directly traced back to the scarcity of Dirac observables. As a possible resolution, we propose to change the method of quantization by refining the configuration space topology until the generalized observables become continuous in the new topology and can acquire a quantum representation. This leads to the polymer quantization method underlying loop quantum cosmology and gravity. Remarkably, the polymer quantum theory circumvents the problems of the quantization with smooth topology, indicating that non-integrability and chaos, while a challenge, may not be a fundamental obstruction for quantum gravity.

研究动机与目标

• 研究约束系统中非可积性与混沌的后果，特别是全息广义相对论中的情况。
• 证明当Dirac可观测量因混沌动力学而变得不连续时，标准量子化方法会失效。
• 表明在混沌的、非可积系统中，关系动力学与物理诠释会崩溃。
• 提出凝聚态量子化作为一种可行的替代方案，恢复可观测量的连续性并实现定义良好的量子理论。
• 确立混沌虽对标准方法构成问题，但若配置空间拓扑被细化，则未必阻碍量子引力。

提出的方法

• 分析具有重参数化不变性、非可积且表现出混沌行为的玩具模型。
• 识别混沌系统中光滑Dirac可观测量与Poisson代数结构的崩溃。
• 引入细化的配置空间拓扑，使广义可观测量连续，从而实现量子表示。
• 应用凝聚态量子化方法——该方法已在环量子宇宙学与量子引力中使用——作为细化拓扑方法的具体实现。
• 将标准Dirac量子化与凝聚态量子化进行比较，表明后者在混沌系统中避免了前者的问题模式。
• 探索替代方法，如伪约束与具有修正测度的路径积分量子化，以解决混沌区域中的约束解问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论中的混沌如何影响Dirac可观测量的存在性与连续性？
• RQ2 为何标准正则量子化方法在非可积、混沌的约束系统中会失效？
• RQ3 在混沌与不连续可观测量存在的情况下，关系动力学与物理诠释是否仍具可行性？
• RQ4 凝聚态量子化是否能成功解决混沌系统中不连续可观测量与未明确定义的半经典极限问题？
• RQ5 非可积性对路径积分与有效场论方法在量子引力中的应用有何影响？

主要发现

• 广义相对论中非可积、混沌的系统缺乏可微Dirac可观测量与光滑约化相空间，使标准量子化框架失效。
• 混沌系统中的规范不变量变得不连续，破坏Poisson代数结构，阻碍一致的量子表示。
• 由于在无限时间区间上进行遍历平均，关系动力学与物理跃迁振幅失去其传统诠释。
• 通过细化配置空间拓扑，凝聚态量子化恢复了广义可观测量的连续性，并实现了定义良好的量子理论。
• 凝聚态量子化方法成功规避了标准量子化在混沌系统中的问题，为量子引力提供了可行路径。
• 替代方法如伪约束与修正路径积分可能提供补充见解，但其完全一致性仍有待确立。